ΜΙΑ ΠΟΛΥ ΚΟΜΨΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

Ο ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ ΟΙΛΕΡ ΚΑΙ Η ΟΜΟΡΦΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

DAVID STIPP

Ποιος μπορεί να αντισταθεί στις λίστες των δέκα καλύτερων δείνα και δέκα καλύτερων τάδε; Εγώ πάντως όχι. Έτσι, όταν προ ολίγων ετών έπεσε το μάτι μου σε μια κατάταξη, από ειδήμονες μαθηματικούς, των πιο όμορφων μαθηματικών θεωρημάτων, μου κινήθηκε η περιέργεια. Αποφάσισα να το αντιμετωπίσω ως κουίζ: Πόσα θεωρήματα μπορούσα να ανακαλέσω στη μνήμη μου από τις φοιτητικές μου σπουδές στα μαθηματικά; Αλίμονο, φοβάμαι ότι απέτυχα οικτρά. Τουλάχιστον παρηγορήθηκα κάπως ότι θυμόμουν τα εννέα από τα δέκα κορυφαία θεωρήματα (από ένα σύνολο είκοσι τεσσάρων θεωρημάτων). Αλλά το πιο όμορφο θεώρημα όλων, μια εξίσωση γνωστή ως «τύπος του Όιλερ», με προβλημάτιζε· το είχα ξαναδεί, αλλά δεν θυμόμουν να το είχα μελετήσει στο πανεπιστήμιο.
«Μάλλον υπερεκτιμημένο θα είναι», σκέφθηκα, με κάπως αμυντική διάθεση. Δίχως μυστηριώδη σύμβολα ή άλλα εχέγγυα υψηλής μαθηματικής δεξιοτεχνίας, το θεώρημα περιλαμβάνει μόνο αριθμούς, και μάλιστα μόλις πέντε από αυτούς (στη συνηθισμένη μορφή του). Ασφαλώς, οι τρεις αναπαριστώνται με γράμματα, δείχνοντας ότι έχουν κάτι το ξεχωριστό. Αλλά η ίδια εξίσωση μοιάζει ελάχιστα πιο εκθαμβωτική από το 2+1=0 κάποιου σαστισμένου σχολιαρόπαιδου. Ιδού: e^iπ+1=0. [...] (Από την εισαγωγή της έκδοσης)

Ο Μπέρτραντ Ράσελ έγραψε κάποτε ότι τα μαθηματικά μπορούν να προσφέρουν απόλαυση και ψυχική ανάταση «όπως ακριβώς και η ποίηση». Αυτό ισχύει και με το παραπάνω για μια συγκεκριμένη εξίσωση: την e^iπ + 1 = 0. Πνευματικό δημιούργημα του Λέοναρντ Όιλερ, του «Μότσαρτ των μαθηματικών», η εξίσωση αυτή θεωρείται ένα εννοιολογικό διαμάντι αξεπέραστης ομορφιάς ακόμη και σήμερα, δύο και πλέον αιώνες μετά τον θάνατο του Όιλερ. Λίγοι έχουν μείνει ασυγκίνητοι μπροστά της. Ο φυσικός Ρίτσαρντ Φάινμαν τη χαρακτήρισε «τον πιο αξιοσημείωτο τύπο των μαθηματικών», ο δε μαθηματικός Keith Devlin τη συνέκρινε με «ένα σαιξπηρικό σονέτο που συλλαμβάνει την ουσία του έρωτα».

Η «εξίσωση του Θεού», όπως συχνά αποκαλείται, περιλαμβάνει μόλις πέντε αριθμούς, αλλά συμπυκνώνει σπουδαίες μαθηματικές ιδέες δύο χιλιετιών, μεταξύ των οποίων η φύση και οι χρήσεις του απείρου, ο παράξενα πανταχού παρών αριθμός π, οι πολλαπλά χρήσιμοι φανταστικοί αριθμοί, η ωραιότητα του τίποτε —του μηδενός. Και μένουμε άφωνοι όταν συνειδητοποιούμε ότι σε αυτή συμπλέκονται σειρά μαθηματικών εννοιών —από εκείνες της βασικής αριθμητικής, της τριγωνομετρίας, του απειροστικού λογισμού μέχρι και του απείρου. Στο βιβλίο του Stipp, η πραγμάτευση του τύπου του Όιλερ γίνεται ένας στοχαστικός περίπατος στο μεγαλείο των μαθηματικών. Το αποτέλεσμα είναι μια ωδή στο μαγικό αυτό πεδίο.

• «Το όμορφο αυτό βιβλίο δείχνει γιατί ο τύπος του Όιλερ είναι απροσδόκητος όσο και αναπόφευκτος. [...] Το Μια πολύ κομψή εξίσωση είναι βιβλίο καθ’ όλα απολαυστικό!».
—Ian Stewart, ομότιμος καθηγητής μαθηματικών, Πανεπιστήμιο του Γουόρικ

• «Ως πρώην συμμετέχων σε μαθηματικούς διαγωνισμούς που αναρρώνει από τα τραύματά του, βρήκα ότι το βιβλίο αυτό αποτελεί ένα απολαυστικό ταξίδι στην ομορφιά της μαθηματικής σκέψης. Ο Stipp δεν είναι μόνο σπουδαίος αφηγητής αλλά και εξαίσιος δάσκαλος, με απλό και εύληπτο στιλ, ο οποίος καταφέρνει να παρουσιάσει με ενάργεια τις πιο περίπλοκες έννοιες. Για όσους έχετε φοβηθεί ποτέ τα μαθηματικά, ιδού η ίασή σας».
—Richard A. Friedman, καθηγητής κλινικής ψυχιατρικής, Πανεπιστήμιο Cornel

• «Αν είστε ευφυής αναγνώστης, ακόμη και χωρίς γερές μαθηματικές βάσεις, μπορείτε να μάθετε πολλά από αυτό το βιβλίο, και παράλληλα να απολαύσετε την εμπειρία».
—Αμερικανική Μαθηματική Ένωση (ΜΑΑ)

• «Το βιβλίο αποτελεί μια έξυπνη, διεισδυτική περιγραφή της διάσημης εξίσωσης του Όιλερ. Κινείται όμορφα και απρόσκοπτα στο όριο ανάμεσα στις βασικές ιδέες της απόδειξης της εξίσωσης και στην ιστορική, επιστημονική και φιλοσοφική της σημασία».
—John Allen Paulos, καθηγητής μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Temple

• «Άραγε τα μαθηματικά υπερβαίνουν τα ανθρώπινα ή αποτελούν απλώς ένα ανθρώπινο κατασκεύασμα; Σε κάθε περίπτωση, οι εκπληκτικές αλληλοσυνδέσεις και η ασύλληπτη ομορφιά που προσφέρουν δεν μπορούν παρά να συμβάλουν στην ψυχική μας ανάταση. Η ποίηση του “e υψωμένο στο i επί π”, όπως εξηγεί υποδειγματικά ο David Stipp, το αποδεικνύει αριστοτεχνικά».
—James Tanton, Mathematician-at-Large της Αμερικανικής Μαθηματικής Ένωσης

Περιεχόμενα

Εισαγωγή
1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΘΕΟΥ
2 ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΑ ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΤΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ
3 ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΜΙΝΑΔΑ ΚΑΤΕΒΑΙΝΕΙ
4 Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΥΠΑΡΞΙΑΣ
5 ΤΟ ΠΟΡΤΡΕΤΟ ΤΟΥ ΔΑΣΚΑΛΟΥ
6 ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΗ ΣΚΟΥΛΗΚΟΤΡΥΠΑ
7 ΑΠΟ ΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΣΤΙΣ ΤΡΑΜΠΑΛΕΣ
8 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΡΕΤΖΙ
9 Η ΣΥΝΘΕΣΗ
10 ΜΙΑ ΝΕΑ ΣΤΡΟΦΗ
11 ΤΟ ΝΟΗΜΑ ΟΛΩΝ ΑΥΤΩΝ
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1: Η αρχική απόδειξη του Όιλερ
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2: Γιατί το "iⁱ" είναι πραγματικός αριθμός
Ευχαριστίες
Γλωσσάριο
Σημειώσεις
Βιβλιογραφία
Ευρετήριο 

Ξενόγλωσσος τίτλος	A MOST ELEGANT EQUATION - EULER'S FORMULA AND THE BEAUTY OF MATHEMATICS
ISBN	978-618-5111-99-1
Εκδότης	ΚΑΤΟΠΤΡΟ
Χρονολογία Έκδοσης	Μάρτιος 2020
Αριθμός σελίδων	234
Μετάφραση	ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΔΕΛΗΒΟΡΙΑΣ, ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΣΕΛΕΒΙΣΤΑΣ
Επιμέλεια	ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΔΕΛΗΒΟΡΙΑΣ