Δευτέρα 21 Φεβρουαρίου 2022

Πώς θα υπολόγιζε ένας μαθητής Λυκείου την μάζα μιας μαύρης τρύπας;

12/11/2021

Οι αστρονόμοι του Ευρωπαϊκού Νότιου Αστεροσκοπείου στη Χιλή, ενώ διερευνούσαν το αστρικό σμήνος NGC1850 διαπίστωσαν ότι ένα άστρο περιφερόταν μόνο του διαγράφοντας μια κυκλική τροχιά, χωρίς όμως να βλέπουν στο εσωτερικό της τροχιάς του κάποιο άλλο αντικείμενο, του οποίου η δύναμη της βαρύτητας θα έπαιζε τον ρόλο της κεντρομόλου δύναμης. Το άστρο είχε μάζα πέντε φορές μεγαλύτερη από τον Ήλιο μας, m=5 M_⊙=10³¹kg (M_⊙=η μάζα του Ήλιου=2×10³⁰ kg), η κυκλική τροχιά που διέγραφε είχε ακτίνα r₁=1,5×10¹⁰m, ενώ μια πλήρης περιφορά είχε διάρκεια Τ=5,05 ημέρες. Αυτό τους οδήγησε στο συμπέρασμα ότι εκεί υπήρχε μια αόρατη μαύρη τρύπα, στην οποία οφείλεται η κυκλική κίνηση του άστρου.

Ένας μαθητής της Β’ Λυκείου αποφασίζει να εφαρμόσει τις γνώσεις του στην φυσική υπολογίζοντας την μάζα Μ της άγνωστης μαύρης τρύπας. Ξεκινάει εξισώνοντας την κεντρομόλο δύναμη με την δύναμη της παγκόσμιας έλξης: $m\frac{v^{2}}{r_{1}}=G\frac{m M}{r_{1}^{2}}$ και δεδομένου ότι $v=2\pi r_{1}/T$ , η μάζα της μαύρης τρύπας μπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση:

$M=\frac{4 \pi^{2} r_{1}^{3}}{GT^{2}}$

Αντικαθιστώντας τα νούμερα προκύπτει μια μάζα ίση με 5,3 M_⊙ (M_⊙=η μάζα του Ήλιου=2×10³⁰ kg).

Όμως το αποτέλεσμα αυτό διαφέρει σημαντικά από την μάζα των 11,1 ηλιακών μαζών που υπολόγισαν οι αστρονόμοι.

Που κάνει λάθος ο μαθητής;

Στο ότι υπέθεσε πως το άστρο περιφέρεται γύρω από μια ακίνητη μαύρη τρύπα. Κάτι τέτοιο, αν θεωρήσουμε ότι το σύστημα των δυο σωμάτων είναι μονωμένο, παραβιάζει την αρχή διατήρησης της ορμής. H μαύρη τρύπα πρέπει να κινείται με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε η ορμή της να είναι συνεχώς αντίθετη της ορμής του άστρου. Αυτό συμβαίνει ακόμα και στο σύστημα Γης – Σελήνης, έστω κι αν η Σελήνη διαγράφει επίσης μια μικρή κυκλική τροχιά.

Οι μάζες m και Μ εκτελούν ομαλή κυκλική κίνηση γύρω από το κέντρο μάζας τους με ακτίνες r₁ και r₂. Για τις ακτίνες ισχύουν $m\,r_{1}=M\,r_{2}$ , ενώ για την απόσταση των δυο μαζών $r=r_{1}+r_{2}$ . Εφαρμόζοντας πάλι τους νόμους του Νεύτωνα παίρνουμε: $m\frac{4\pi^{2}r_{1}^{2}/T^{2}}{r_{1}}=G\frac{m M}{(r_{1}+r_{2})^{2}}$ ή

$\frac{M^{3}}{(m+M)^{2}}=\frac{4 \pi^{2} r_{1}^{3} }{ GT^{2}}$

Μπορεί η παραπάνω εξίσωση να είναι τρίτου βαθμού ως προς τον άγνωστο Μ, όμως χρησιμοποιώντας το Wolfram Alpha παίρνουμε την σωστή τιμή της μάζας για την μαύρη τρύπα: Μ=11,1 M_⊙.

Ο υπολογισμός που έκανε ο μαθητής της Β’ Λυκείου θα ήταν σωστός μόνο στην περίπτωση που η μάζα του άστρου ήταν αρκετά μικρότερη από την μάζα της μαύρης τρύπας.

ΠΗΓΗ: PHYSICSGG

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Σημείωση: Μόνο ένα μέλος αυτού του ιστολογίου μπορεί να αναρτήσει σχόλιο.