Ο αξιοθαύμαστος αριθμός 153

Για τον εκπληκτικό αριθμό 153 έχουν γραφεί εκατοντάδες μαθηματικά άρθρα και μελέτες. Τον αριθμό 153 τον συναντούμε επίσης σε πολλά αρχαία και σύγχρονα θρησκευτικά, εσωτερικά, μυστικιστικά, αστρολογικά κ.λπ. κείμενα, τα οποία περιέχουν ποικίλες ερμηνείες και συμβολισμούς.

Οι πυθαγόρειοι αναφέρουν τον αριθμό 153 ως «σημείο του ιχθύος». Ο Αρχιμήδης τον αναφέρει ως «μέτρο του ιχθύος». Κάποιοι έχουν σημειώσει ότι το εβραϊκό όνομα για τον Θεό «YHWH» εμφανίζεται στο βιβλίο της Γένεσης 153 φορές.

Από την Καινή Διαθήκη γνωρίζουμε ότι η μαθητές του Ιησού αρχικά δεν πίστεψαν στην Ανάστασή Του. Έτσι, ο Ιησούς αναγκάστηκε να εμφανιστεί στα Ιεροσύλημα τουλάχιστον έξι φορές μπροστά τους μέχρις ότου πεισθούν όλοι.

 Όπως αναφέρει ο ευαγγελιστής Ιωάννης, την τελευταία φορά που φανερώθηκε ο Ιησούς ενώπιον των μαθητών του, αυτοί ψάρευαν στη λίμνη της Τιβεριάδος. Επειδή το ψάρεμα των μαθητών στη λίμνη είχε αποβεί άκαρπο, ο Ιησούς έδωσε εντολή προς αυτούς να ρίξουν ξανά το δίχτυ στα δεξιά του πλοίου. Το αποτέλεσμα ήταν να γεμίσει το δίχτυ με 153 μεγάλα ψάρια. «Ανέβη Σίμων Πέτρος και είλκυσε το δίκτυον επί της γης, μεστόν ιχθύων μεγάλων εκατόν πεντήκοντα τριών. Και τοσούτων όντων ουκ εσχίσθη το δίκτυον»  (Ιω 21, 11).

Ο Ιερός Αυγουστίνος πίστευε ότι ο αριθμός 153 είναι σημαντικός επειδή είναι το άθροισμα των πρώτων 17 ακέραιων αριθμών. Και αυτό επειδή ο αριθμός 17 είναι ο συνδυασμός των 7 χαρισμάτων του Αγίου Πνεύματος και των 10 εντολών  (7 χαρίσματα +10 εντολές = 17). 

Ο Evagrius Ponticus, ένας προικισμένος χριστιανός μοναχός του 4ου αιώνα, προσπάθησε να ερμηνεύσει τις μοναδικές μαθηματικές ιδιότητες του αριθμού 153 βάσει του Πυθαγορείου αριθμητικού συμβολισμού που διακρίνει τους αριθμούς σε τριγωνικούς, τετραγωνικούς, εξαγωνικούς, οκταγωνικούς και κυκλικούς. Οι Πυθαγόρειοι παρίσταναν τους αριθμούς με κουκίδες, τακτοποιημένες σε διάφορα σχήματα και τους ταξινομούσαν σε τριγωνικούς, τετραγωνικούς, εξαγωνικούς κ.λπ.

Ο αριθμός 153 είναι, σύμφωνα με την Πυθαγόρεια ερμηνεία, τριγωνικός και ταυτόχρονα εξαγωνικός.

Σύμφωνα με τον Ponticus o αριθμός 153 είναι το άθροισμα ενός τετραγωνικού αριθμού (100) + ενός τριγωνικού αριθμού (28) + ενός κυκλικού αριθμού (25) [(100 + 28 + 25=153)]. Ο τριγωνικός αριθμός συμβολίζει την Αγία Τριάδα και ο εξαγωνικός αριθμός συμβολίζει τις 6 ημέρες της Δημιουργίας.

- O αριθμός 153 είναι τριγωνικός αριθμός.

Για να βρούμε τους τριγωνικούς αριθμούς ξεκινάμε από τον αριθμό 1 στον οποίο προσθέτουμε το 2 και έχουμε τον πρώτο τριγωνικό αριθμό, το 3. Ακολούθως, προσθέτουμε το 3, το 4, το 5, το 6 κ.ο.κ., δημιουργώντας όσους τριγωνικούς αριθμούς επιθυμούμε.

  

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10 

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

……

Ο αριθμός 153 προκύπτει από το άθροισμα των ακέραιων αριθμών από το 1 έως το 17:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17 =153

Ο n-οστός τριγωνικός αριθμός Tn είναι το άθροισμα των πρώτων n ακεραίων και υπολογίζεται από τον παρακάτω τύπο:

Tn=1+2+3+⋯+n=n(n+1)/2

Π.χ. Τ₄=1+2+3+4=10 (ή αντικαθιστώντας στον παραπάνω τύπο ν=4 έχουμε (4x5)/2=10

Παρομοίως T₁₇ = [17 x (17 + 1)] / 2 = 153

Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τους τριγωνικούς αριθμούς με ισόπλευρα τρίγωνα όπως στο παρακάτω σχήμα, όπου βλέπουμε τον T₁₇. O T_n είναι το πλήθος των κουκίδων σε ένα τριγωνικό σχήμα, με n κουκκίδες στην βάση του, n-1 στην προηγούμενη γραμμή, n-2 στην προ-προηγούμενη  κ.ο.κ. μέχρι να φτάσουμε στην κορυφή στην οποία υπάρχει μόνο μία κουκκίδα.

Ο αριθμός 153 αποτελεί τον 17o τριγωνικό αριθμό. Ο προηγούμενος τριγωνικός αριθμός είναι ο 136, και ο επόμενος ο 171.

- Ο αριθμός 153 είναι εξαγωνικός αριθμός [1].

- Ο αριθμός 153 ισούται με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων του [2]

1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27 = 153

- Το άθροισμα των παραγοντικών από το 1 έως το 5 μας δίνει 153:

1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + 1x2x3x4x5 =153

- Το άθροισμα των ψηφίων του είναι ένα ακριβές τετράγωνο: 1 + 5 + 3 = 9 = 3²

- Το άθροισμα των διαιρετών του είναι ένα ακριβές τετράγωνο: 1 + 3 + 9 + 17 + 51 = 81 = 9²

- Είναι αριθμός Harshad [3] δηλαδή είναι ένας θετικός ακέραιος που διαιρείται με το άθροισμα των ψηφίων του. Πράγματι, 153/(1+5+3) =153/9=17.

- Είναι ναρκισσιστικός αριθμός [4] καθώς ισούται με το άθροισμα δυνάμεων (τρίτων) των ψηφίων του (153 = 1³ + 5³ + 3³).

- Είναι σύνθετος αριθμός, καθώς πέρα από τον εαυτό του και το 1 διαθέτει και άλλους αριθμούς ως διαιρέτες. (Σύνθετος είναι ο αριθμός που έχει έναν τουλάχιστον διαιρέτη επιπλέον από τον εαυτό του και τη μονάδα. Ως εκ τούτου σύνθετος αριθμός είναι ένας οποιοσδήποτε ακέραιος, μεγαλύτερος του 1, που δεν είναι πρώτος αριθμός).

- Είναι ελλιπής αριθμός καθώς το άθροισμα των διαιρετών του είναι μικρότερο από τον ίδιο τον αριθμό. Πράγματι, το άθροισμα των διαιρετών του αριθμού 153 είναι 1+3+9+17+51=81 (81<153).

- Είναι αριθμός Φρήντμαν (Friedman) διότι 153 = 3 * 51 [5].

- Αποτελεί μέρος των Πυθαγόρειων Τριάδων (72, 135, 153), (104, 153, 185), (153, 204, 255), (153, 420, 447), (153, 680, 697), (153, 1296, 1305), (153, 3900, 3903), (153, 11704, 11705). [6]

- Η μαθηματική σχέση eπφ⁶  μας δίνει προσεγγιστικά τον αριθμό 153.
eπφ⁶ = 2,7182818…x 3,14159265…x 1,6180339…⁶ = 153,239 ≈  153
όπου:
e =2,7182818… είναι η βάση των φυσικών λογαρίθμων
π= 3,14159265…είναι η μαθηματική σταθερά που ορίζεται ως ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο του κύκλου, την οποία πρώτος ανακάλυψε ο Αρχιμήδης τον ΙΙΙο αιώνα π.Χ.
φ = 1,6180339… είναι η μαθηματική σταθερά που εκφράζει τη Χρυσή Τομή, δηλαδή φ= (1 + √5) / 2 (λύση της εξίσωσης φ² – φ – 1 = 0).

Ο αριθμός 153 είναι επίσης ένας μη πλήρης αριθμός, αριθμός παλινδρόμησης στο σύστημα δυαδικών αριθμών, αριθμός Armstrong κ.λπ. και διαθέτει πλήθος άλλων ιδιοτήτων τις οποίες οι αναγνώστες μπορούν να αναζητήσουν σε εξειδικευμένη μαθηματική αρθρογραφία.
__________________________________________________
[1] Ένας εξαγωνικός αριθμός είναι ένας πολυγωνικός αριθμός που αντιπροσωπεύει ένα εξάγωνο. Ο εξαγωνικός αριθμός για το n μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο 2n^2-n
Οι πρώτοι 30 εξαγωνικοί αριθμοί είναι:
1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770 

[2] Ας πάρουμε ένα πολλαπλάσιο του 3, π.χ. 24

Αθροίζουμε το άθροισμα των κύβων των ψηφίων του και προχωρούμε με τον ίδιο τρόπο μέχρι να βρεθεί ο αριθμός 153.

2³ + 4³ = 8 + 64 = 72

7³ + 2³ = 343 + 8 = 351

3³ + 5³ + 1³ = 27 + 125 + 1 = 153

Για το πολλαπλάσιο 30 έχουμε:

3³ + 0³ = 27 + 0

2³ + 7³ = 8 + 343 = 351

3³ + 5³ + 1³ = 27 + 125 + 1 = 153

Για το πολλαπλάσιο 54 έχουμε:

5³ + 4³ = 125 + 64 = 189

1³ + 8³ + 9³ = 1 + 512 + 729 = 1242

1³ + 2³ + 4³ + 2³ = 1 + 8 + 64 + 8 = 81

8³ + 1³ = 512 + 1 = 513

5³ + 1³ + 3³ = 125 + 1 + 27 = 153

[3] Το όνομα Harshad δόθηκε από τον Ινδό μαθηματικό Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986). Ο όρος Harshad προέρχεται από το σανσκριτικό "harṣa" που σημαίνει "μεγάλη χαρά". Οι αριθμοί αυτοί αναφέρονται και ως αριθμοί Niven, προς τιμήν του Καναδο-αμερικανού μαθηματικού Ivan Morton Niven (1915-1999).

[4] Ναρκισσιστικός αριθμός ονομάζεται ένας ν-ψήφιος αριθμός, του οποίου το άθροισμα των ψηφίων του, υψωμένα στη νιοστή δύναμη, δίνει τον αριθμό.

Π.χ. 153 = 1³ + 5³ + 3³

54748 = 5⁵ + 4⁵ + 7⁵ + 4⁵ + 8⁵

[5] Ένας αριθμός Friedman είναι ένας ακέραιος, ο οποίος σε μια δεδομένη βάση είναι το αποτέλεσμα μιας έκφρασης που χρησιμοποιεί όλα τα ψηφία του συνδυάζοντάς τα με τους αριθμητικούς τελεστές (+, -, ×, ÷) και την ύψωση σε δύναμη. Π.χ. Ο αριθμός 347 είναι ένας αριθμός Friedman καθώς μπορεί να εκφραστεί ως 347=7³ + 4, ο αριθμός 25 επίσης καθώς 25=5² , ο  αριθμός 1024  επίσης καθώς 1024 = (4 − 2)¹⁰  κ.λπ.
Οι πρώτοι αριθμοί Friedman στη βάση 10 είναι:

25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, 3125, 3159 .

[6] Μια πυθαγόρεια τριάδα αποτελείται από τρεις θετικούς ακέραιους αριθμούς α, β, και γ, τέτοιοι ώστε να ισχύει η σχέση α² + β² = γ², που μας είναι γνωστή ως πυθαγόρειο θεώρημα. Μια τέτοια τριάδα συνήθως γράφεται ως (α, β, γ).  Εάν (α, β, γ) είναι πυθαγόρεια τριάδα, τότε ομοίως θα είναι και η (κα, κβ, κγ) για οποιοδήποτε θετικό ακέραιο κ.
Π.χ. οι αριθμοί 3, 4 και 5 αποτελούν την πυθαγόρεια τριάδα (3,4,5) καθώς 3² + 4² = 5² (9+16=25).

Παύλος Γκάσταρης