Ο Αθανάσιος Φωκάς εισάγει μια νέα μεθοδολογία για τη λύση σε ένα από τα μεγαλύτερα ανοιχτά προβλήματα στην ιστορία των Mαθηματικών

04/07/2018

από τον  Δ.Μ.

Αθανάσιος Φωκάς, μαθηματικός από το Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Θεωρητικής Φυσικής του Πανεπιστημίου του Κέμπριτζ και καθηγητής στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών του Ming Hsieh στη Σχολή Μηχανικών Βιομηχανίας Viterbi, ανακοίνωσε μια νέα μέθοδο που προτείνει μια λύση σε ένα από τα μακρά τα προβλήματα της ιστορίας των μαθηματικών, την υπόθεση Lindelöf.

Μια εντελώς νέα προσέγγιση υποδηλώνει την εγκυρότητα της 110χρονης υπόθεσης Lindelöf, ανοίγοντας τις δυνατότητες νέων ανακαλύψεων στον κβαντικό υπολογισμό, τη θεωρία αριθμών, και την κρυπτογράφηση ως βάση για την ασφάλεια στον κυβερνοχώρο. Το αποτέλεσμα ανακοινώθηκε στις 25 Ιουνίου 2018, στο Πρώτο Συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας στην Αθήνα.

Η υπόθεση  Lindelöf, που προτάθηκε το 1908 από τον φινλανδό τοπολόγο Ernst Leonard Lindelöf, αποτελεί εικασία σχετικά με το ρυθμό ανάπτυξης της συνάρτησης Riemann zeta, που είναι ένα από τα πιο διάσημα άλυτα προβλήματα που σχετίζονται με τους πρώτους αριθμούς, την υπόθεση Riemann, και που αναφέρεται ως το Άγιο Δισκοπότηρο των Μαθηματικών. 

Ernst Leonard Lindelöf (1870 - 1946)

Ο Lindelöf υπονοεί τους περισσότερους ισχυρισμούς του Riemann και του Riemann υπονοούν πλήρως τον Lindelöf, επομένως η απόδειξη της υπόθεσης Lindelöf ισοδυναμεί με σημαντική ανακάλυψη στον τομέα των μαθηματικών. 

Ο Bernhard Riemann ήταν ο μαθηματικός ο οποίος έκανε τη μοναδική και μεγαλύτερη ανακάλυψη στην θεωρία των πρώτων αριθμών. Οι πρώτοι αριθμοί – 2, 3, 5, 7 και 11 που διαιρούνται μόνο από 1 και τον ίδιο αριθμό – είναι ιδανικοί για πράγματα όπως η κρυπτογράφηση RSA, που προστατεύουν τις πολλές online αγορές μας στο διαδίκτυο. Οι πρώτοι αριθμοί είναι κυριολεκτικά τα μυστικά «κλειδιά» που κρύβουν τις αγορές σας στην Amazon από αδιάκριτα μάτια.

Bernhard Riemann (1826 - 1866)

 Η συνάρτηση Riemann zeta είναι ένα σχεδόν μαγικό εργαλείο στη θεωρία αριθμών που χρησιμοποιείται για τη διερεύνηση των ιδιοτήτων των πρώτων αριθμών. Έχει προωθήσει την επιστημονική κατανόηση σε πολλούς τομείς, συμπεριλαμβανομένης της βιολογίας, της χημείας και της φυσικής, όλα αυτά χωρίς επίσημη απόδειξη της διάσημης υπόθεσης του Riemann.

Από την δημοσίευσή του, η εργασία του Riemann ήταν το επίκεντρο της θεωρίας των πρώτων αριθμών και ο κύριος λόγος για την απόδειξη ενός στοιχείου που ονομάζεται θεώρημα του πρώτου αριθμού το 1896. Από τότε έχουν βρεθεί αρκετές νέες αποδείξεις, συμπεριλαμβανομένων των στοιχειωδών αποδείξεων των Selberg και Erdós. Ωστόσο, η υπόθεση του Riemann για τις ρίζες της συνάρτησης ζήτα (zeta) παρέμεινε ένα μυστήριο. Το μυστήριο αυτό υπάρχει από το γεγονός ότι η συνάρτηση R zeta εξαρτάται από μια πολύπλοκη μεταβλητή και δεν έχει μια έκφραση κλειστής μορφής – δηλαδή δεν μπορεί να εκφραστεί ως ένας μόνο τύπος που περιέχει άλλες τυπικές συναρτήσεις.

Αν η Υπόθεση Riemann αποδειχθεί σωστή, θα επιτρέψει στους μαθηματικούς να περιγράψουν καλύτερα τον τρόπο με τον οποίο οι πρώτοι αριθμοί τοποθετούνται μεταξύ ολόκληρων αριθμών. Η υπόθεση Riemann έχει θεωρηθεί  τόσο σημαντική για τον τομέα των μαθηματικών και είναι τόσο δύσκολο να αποδειχθεί που το Ινστιτούτο Μαθηματικών του Clay προσέφερε 1.000.000 δολάρια στο πρώτο άτομο που θα το αποδείξει.

“Η συνάρτηση Riemann εξαρτάται μόνο από τη μεταβλητή t», δήλωσε ο Αθανάσιος Φωκάς που πέρασε σχεδόν εννέα χρόνια δουλειάς με την υπόθεση Lindelöf. «Η υπόθεση Riemann μπορεί να επαληθευτεί με τον υπολογιστή του σήμερα, για ένα t 10 υψωμένος στο 13 που είναι ένας πολύ μεγάλος αριθμός, αλλά ακόμα πολύ μικρός σε σχέση με το άπειρο. Αυτό δείχνει ότι πρέπει να κατανοήσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης R zeta όταν το t είναι πολύ μεγάλο. Εδώ έρχεται η υπόθεση Lindelöf, η οποία καλύπτει ότι η συνάρτηση R zeta έχει μια ορισμένη μορφή καθώς το t παίρνει πολύ μεγάλο». 

Ο Αθανάσιος Φωκάς είναι ένας παγκόσμιος ειδικός στην ασυμπτωτική, ένας εφαρμοσμένος μαθηματικός τομέας που βοηθά τους επιστήμονες να απαντούν σε ερωτήσεις σχετικά με τη συμπεριφορά των συναρτήσεων όταν μια παράμετρος είναι πολύ μεγάλη. Το έργο του Lindelöf μπορεί να σημάνει μια σημαντική ανακάλυψη στην κατανόηση της αλγοριθμικής πολυπλοκότητας, ένα πολύ σημαντικό θέμα στην επιστήμη των υπολογιστών. Γνωρίζοντας την πολυπλοκότητα των αλγορίθμων, μπορούμε να απαντήσουμε σε ερωτήματα όπως για το πόσο χρόνο χρειάζεται να εκτελεστεί ένα πρόγραμμα σε μια είσοδο; Πόσο διάστημα θα πάρει; Είναι το πρόβλημα επιλύσιμο; 

«Η προσέγγισή μου ήταν εντελώς διαφορετική από τις συνήθεις προσεγγίσεις που χρησιμοποιήθηκαν», δήλωσε ο Φωκάς. «Πρώτα ενσωματώνω τη λειτουργία R zeta μέσα σε ένα μεγαλύτερο πρόβλημα, δηλαδή βρίσκω ότι η λειτουργία R zeta ικανοποιεί ένα πολύ σημαντικό πρόβλημα σε πολύπλοκη ανάλυση που ονομάζεται πρόβλημα Riemann-Hilbert. Στη συνέχεια, υπολογίζω τη μεγάλη t συμπεριφορά αυτού του προβλήματος. Εκτός από την εννοιολογική καινοτομία, αυτή η προσέγγιση είναι τεχνικά πολύ δύσκολη λόγω της ανάλυσης του προαναφερθέντος προβλήματος Riemann-Hilbert». 

Με πολλούς τρόπους ο Φωκάς είναι ο πνευματικός κληρονόμος του ρωσοαμερικανού μαθηματικού και βιολόγου Israel Gelfand (Ισραήλ Γκέλφαντ), θεωρούμενου ως ένα από τα σπουδαιότερα μαθηματικά μυαλά του 20ού αιώνα, και όταν ο Φωκάς πήρε το Βραβείο από την Ακαδημία Αθηνών το 2004, έγραψε γι αυτόν ο στενός του συνεργάτης Israel Gelfand : «Ο Φωκάς είναι τώρα ένα πολύ σπάνιο παράδειγμα επιστήμονα στο στυλ της Αναγέννησης». 

Δρ. Αθανάσιος Φωκάς, Αεροναυπηγός Μηχανικός, Μαθηματικός και Ιατρός

Για τον Αθανάσιο Φωκά

Το 2000, ο Φωκάς βραβεύτηκε με το βραβείο Naylor, ένα χρόνο μετά την απονομή του ίδιου βραβείου στον Stephen Hawking από τη Μαθηματική Εταιρεία του Λονδίνου. Είναι επίσης πλήρες μέλος της Ακαδημίας Αθηνών και συνεργάτης του Guggenheim. Η μέθοδος του «Φωκάς» για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων έχει αντικαταστήσει πλήρως μεθόδους μετασχηματισμού που ανακαλύφθηκαν τον 18ο αιώνα και χρησιμοποιούνται για πάνω από 250 χρόνια. Μια πρόσφατη ανάλυση στο περιοδικό «Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)», συγκρίνει την επίδραση της μεθόδου Fokas στα μαθηματικά με εκείνη του «Fosbury flop» στο άλμα.
Αποφοίτησε πρώτος από την Αεροναυπηγική Σχολή του Imperial College, έκανε διδακτορικό στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο Caltech και έλαβε πτυχίο Ιατρικής από το Πανεπιστήμιο του Mαϊάμι.
Το 1995 ανέλαβε την έδρα των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Imperial College και από το 2002 μέχρι και σήμερα κατέχει την έδρα της Μη Γραμμικής Μαθηματικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου του Κέμπριτζ.
Παράλληλα, το 2002 τιμήθηκε με το βραβείο Naylor, που είναι το πιο σημαντικό βραβείο για τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά και τη Μαθηματική Φυσική στο Ηνωμένο Βασίλειο, έχει βραβευτεί με το Αριστείο του Ιδρύματος Μποδοσάκη και έχει παρασημοφορηθεί από τον Πρόεδρο της Ελληνικής Δημοκρατίας, ενώ είναι τακτικό μέλος της Ακαδημίας Αθηνών. 
Ανοιχτόμυαλος, όπως απαιτεί η επιστήμη του, καταξιωμένος διεθνώς και πιστός στην άποψη ότι, για να είσαι ευτυχισμένος, πρέπει να πορεύεσαι με μια γεμάτη ζωή. 

ΠΗΓΗ: physics4u