Από τον Γιώργο Λ. Ευαγγελόπουλο
Ο Δημήτρης Χριστοδούλου είναι κορυφαίος σύγχρονος μαθηματικός. Μετά τη σπουδαία συνεισφορά των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών στον δυτικό πολιτισμό, δεν είναι λίγοι αυτοί που υποστήριξαν – μεταξύ τους και ο ουγγρικής καταγωγής αμερικανός μαθηματικός, Peter Lax– ότι, έπειτα από απουσία 2.300 χρόνων, οι Έλληνες επέστρεψαν στις σημαντικές τους συνεισφορές στη μαθηματική επιστήμη χάρη στο έργο του Δημήτρη Χριστοδούλου(1). Άλλοι θεωρούν ότι ο Lax σε αυτό του το σχόλιο έπρεπε να συμπεριλάβει και τον Κωνσταντίνο Καραθεοδωρή (και μάλλον έχουν δίκιο).
Επειδή σε αυτή τη χώρα αρεσκόμαστε πολύ να κάνουμε συγκρίσεις – τις
περισσότερες φορές επιφανειακές και πρόχειρες – αντί να προσπαθούμε να
κατανοήσουμε το έργο όσων υποτίθεται ότι θαυμάζουμε, σε αυτό το κείμενο
θα επιχειρήσω να παρουσιάσω, όσο μπορώ, κάποια από τα επιτεύγματα του
Χριστοδούλου στη φυσική και τα μαθηματικά που φτάνουν μέχρι και τη
δεκαετία του 1990, με έμφαση στο έργο το οποίο παρήγαγε από κοινού με
τον Sergiu Klainerman,
πάνω στην ευστάθεια του χώρου Minkowski. Κατ’
αυτόν τον τρόπο, μένουν εκτός της αφήγησης που ακολουθεί πολλά νεότερα
σημαντικά επιτεύγματα του Χριστοδούλου, μεταξύ των οποίων τα μαθηματικά
έργα του στην υδροδυναμική.
Προτού ξεκινήσω, παραθέτω –κάνοντας μικρές μόνον αλλαγές αλλά και κάποιες αναγκαίες προσθήκες– την ακόλουθη σύντομη περιγραφή της σταδιοδρομίας του Χριστοδούλου, που είναι αναρτημένη στην ιστοσελίδα του Τμήματος Φυσικής του Πανεπιστημίου Κρήτης. Αυτή αρχίζει αφότου ο Χριστοδούλου απέκτησε το διδακτορικό του στη φυσική από το Τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Princeton (ΗΠΑ), το 1971:
Από το 1971 έως το 1972 υπήρξε μεταδιδακτορικός υπότροφος στο Caltech (ΗΠΑ) και το 1972-1973 διετέλεσε Καθηγητής Φυσικής στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Κατά την περίοδο 1973-1983 υπήρξε ερευνητής στο CERN (Ελβετία), στο International Center for Theoretical Physics στην Τριέστη (Ιταλία), στο Max Planck Institute του Μονάχου
(Γερμανία) και στο Courant Institute (ΗΠΑ). Από το 1983 έως το 1988 ήταν Καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Syracuse (ΗΠΑ) ενώ από το 1988 έως το 1992 ήταν Καθηγητής Μαθηματικών στο Courant Institute. Εκλέχθηκε Καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Princeton το 1993, όπου και έμεινε έως το 2001, οπότε μετακινήθηκε στο Ομοσπονδιακό Πολυτεχνείο της Ζυρίχης (ETH) στην Ελβετία, ως Καθηγητής Μαθηματικών και Φυσικής. Το 2011 αναγορεύθηκε Επίτιμος Καθηγητής Θεωρητικής Φυσικής και το 2023 Επίτιμος Καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Κρήτης.
Ο Καθηγητής Χριστοδούλου έχει τιμηθεί με πολλά βραβεία και διεθνείς διακρίσεις. Μεταξύ αυτών είναι το Μετάλλιο Otto Hahn στη Μαθηματική Φυσική, το Βραβείο Mac Arthur στα Μαθηματικά και τη Φυσική, το Βραβείο Bôcher της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρίας, το βραβείο Henri Poincaré, το βραβείο Marcel Grossmann, το βραβείο της Tomalla Fοundation για την έρευνα στη βαρύτητα, το Αριστείον Επιστημών της Ακαδημίας Αθηνών, ο Ταξιάρχης του Φοίνικα από τον Πρόεδρο της Ελληνικής Δημοκρατίας, το Αριστείο Μποδοσάκη, το Βραβείο Βασίλης Ξανθόπουλος, το Chaire d’Etat του College de France, και το Shaw Prize in Mathematical Sciences. Είναι μέλος της Αμερικανικής Ακαδημίας Τεχνών και Επιστημών, της Εθνικής Ακαδημίας Επιστημών των ΗΠΑ, της Ευρωπαϊκής Ακαδημίας Επιστημών, της Academia Europaea και της Κυπριακής Ακαδημίας Επιστημών, Γραμμάτων και Τεχνών.
Ο Χριστοδούλου ως φυσικός
O Δημήτρης Χριστοδούλου γεννήθηκε το 1951 στην Αθήνα(2). Σε ηλικία μόλις 14 ετών ανακάλυψε την ιδιαίτερη ευχέρεια που είχε στα μαθηματικά και τις φυσικές επιστήμες. Διάβασε, τάχιστα, πρώτα τα βιβλία των μαθηματικών και της φυσικής των επόμενων τάξεων του εξατάξιου τότε Γυμνασίου και, κατόπιν, το βιβλίο του A. S. Kompaneyets,Theoretical Physics(3), που περιέχει συνοπτικά όλες τις βασικές γνώσεις της κλασικής φυσικής, πολλά βιβλία μαθηματικών και φυσικής της σειράς Schaum, καθώς και τα συγγράμματα του τότε καθηγητού του ΕΜΠ, Δημητρίου Γ. Δασκαλόπουλου.
Με τη μεσολάβηση κοινού οικογενειακού τους φίλου, του μηχανικού Σπύρου Μιχαλόπουλου, ο Δημήτρης Χριστοδούλου πηγαίνει στο Παρίσι, για να τον γνωρίσουν – δηλαδή να τον εξετάσουν – ο Αχιλλέας Παπαπέτρου(4), που δούλευε τότε στο Ινστιτούτο Henri Poincaré, αλλά και ο John Archibald Wheeler, ο οποίος εκείνη την εποχή βρισκόταν με επιστημονική άδεια στη γαλλική πρωτεύουσα. Οι δύο προαναφερθέντες επιστήμονες θεωρούνταν αυθεντίες στη θεωρία της γενικής σχετικότητας. Ο Παπαπέτρου εντυπωσιάζεται από τις ικανότητες του Χριστοδούλου, παρότι διαγιγνώσκει αμέσως ότι είναι περισσότερο μαθηματικός,παρά φυσικός, ενώ ο Wheeler τον προτρέπει να τον ακολουθήσει στο Πανεπιστήμιο Princeton(5).
Ενώ είναι μαθητής της Ε ́ Γυμνασίου (σημερινής Β ́ Λυκείου), ο
Χριστοδούλου φεύγει αμέσως για τις ΗΠΑ, για το Princeton. Έπειτα από ένα
δοκιμαστικό εξάμηνο, γίνεται δεκτός στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα της
θεωρητικής φυσικής του ομώνυμου Πανεπιστημίου, το έτος 1969. Το 1970 ο
Χριστοδούλου πήρε το Μάστερ, με διπλωματική εργασία που είχε τον τίτλο
“Reversible and irreversible transformations in black hole physics”,
ενώ, ένα μόλις χρόνο αργότερα, το 1971, του απονεμήθηκε το διδακτορικό
του δίπλωμα (PhD), χάρη στη μελέτη του «Investigations in gravitational
collapse and the physics of black holes”. Την ίδια χρονιά δημοσίευσε από
κοινού με τον Remo Ruffini μία ακόμη εργασία που αφορά τη φυσική των
μελανών οπών, με τίτλο “Reversible transformations of a charged black
hole”.
Πρέπει στο σημείο αυτό να λεχθεί για όσους τυχόν δεν το
γνωρίζουν ότι οι μελανές οπές είναι υλικά σώματα που δημιουργούν ένα
εξαιρετικά ισχυρό πεδίο βαρύτητας, από το οποίο τίποτε δεν είναι δυνατόν
να διαφύγει, ούτε καν το φως. Είναι το τελικό στάδιο της ζωής ενός
αστέρα που, έχοντας εξαντλήσει τα αποθέματα θερμοπυρηνικών καυσίμων,
υφίσταται βαρυτική κατάρρευση, η οποία τείνει να τον μετατρέψει σε
σημείο μηδενικού όγκου και άπειρης πυκνότητας, δηλαδή σε μια ανωμαλία
(singularity). Το σύνορο της μελανής οπής με τον έξω κόσμο είναι μια
επιφάνεια που ονομάζεται «ορίζοντας των γεγονότων» και περιβάλλει το
κέντρο της μελανής οπής. Και οι τρεις προαναφερθείσες εργασίες του
Χριστοδούλου είναι σημεία αναφοράς για όσους ασχολούνται με τη γενική
σχετικότητα. Π.χ., στο κλασικό βιβλίο των Charles W. Misner, Kip S.
Thorne και John Archibald Wheeler, Gravitation(6), με το
οποίο γαλουχήθηκαν γενιές φυσικών, υπάρχουν αναφορές και εξηγήσεις
τεχνικών λεπτομερειών των εν λόγω εργασιών στο κεφάλαιο, Black Holes.
Κρίνοντας αυτή τη δουλειά της πολύ πρώιμης νεότητας του Χριστοδούλου, ο ινδός νομπελίστας φυσικός, S. Chandrasekhar, υπό την ιδιότητα του προέδρου της Επιτροπής του «Βραβείου Βασίλη Ξανθόπουλου για την Αστροφυσική και τη Γενική Σχετικότητα», έγραψε στην πρότασή του για την απονομή αυτού του βραβείου στον Χριστοδούλου, το 1991, τα εξής:
Η πρώιμη δουλειά του Χριστοδούλου στο Princeton πάνω στις μελανές οπές είναι αξιοθαύμαστη για τη φυσική διαίσθηση που φανερώνει. Έχει μια πρωτοποριακή ποιότητα. Άνοιξε κατευθύνσεις σκέψης που καρποφόρησαν με το θεώρημα του εμβαδού του Hawking για τις μελανές οπές(7).
Με την τελευταία του φράση, ο Chandrasekhar παραπέμπει κυρίως στην πρώτη από τις προαναφερθείσες εργασίες του Χριστοδούλου, η οποία είναι και η σπουδαιότερη αυτής της περιόδου. Πράγματι, η δημοσίευσή του για τους αντιστρεπτούς και μη αντιστρεπτούς μετασχηματισμούς στη φυσική των μελανών οπών είναι ιδιαιτέρως σημαντική, διότι αποτελεί τον πρόδρομο της εργασίας του Jacob Bekenstein, “Black Holes and the Second Law”, στην οποία πρωτοδιατυπώθηκε η υπόθεση ότι το εμβαδόν του «ορίζοντα των γεγονότων» μιας μελανής οπής, περιστρεφομένης ή μη, είναι μέτρο της εντροπίας του. Ο Kip Thorne στο βιβλίο του, ‘Μελανές οπές και στρεβλώσεις του χρόνου – Η προκλητική κληρονομιά του Αϊνστάιν’, αναφέρει ότι ο Χριστοδούλου στην εργασία του αυτή παρατηρεί εύστοχα
[…] ότι οι εξισώσεις που περιγράφουν τις αργές μεταβολές των ιδιοτήτων των μαύρων τρυπών (όταν, για παράδειγμα, προστίθεται αργά σε αυτές αέριο) μοιάζουν με ορισμένες από τις εξισώσεις της θερμοδυναμικής. Η ομοιότητα ήταν αξιοσημείωτη, αλλά δεν υπήρχε λόγος να θεωρηθεί κάτι περισσότερο από απλή σύμπτωση(8).
Αξίζει να υπογραμμιστεί στο σημείο αυτό ότι, πράγματι, μέχρι την εν λόγω δημοσίευση του Χριστοδούλου, οι έννοιες της θερμοδυναμικής φαίνονταν τελείως άσχετες/ξένες προς τη φυσική των μελανών οπών, αφού το αρχικό πεδίο εφαρμογής τους ήταν η φυσική των ρευστών. Ο Χριστοδούλου, χρησιμοποιώντας τους όρους των αντιστρεπτών και μη αντιστρεπτών μετασχηματισμών στη φυσική των μελανών οπών, επέστησε την προσοχή των συναδέλφων του φυσικών στην υπάρχουσα αναλογία με έννοιες της θερμοδυναμικής. Ας προσέξουμε ότι η μη αντιστρεπτότητα υπάρχει στην έννοια της μελανής οπής, όπως υπάρχει και στην έννοια της εντροπίας. Ο Stephen Hawking στο βιβλίο του, ‘Το χρονικό του χρόνου – Από τη Μεγάλη Έκρηξη ώς τις Μαύρες Τρύπες’(9), αναφέρει ότι αρχικά αρνήθηκε να δεχθεί την ορθότητα της εργασίας του Bekenstein, στη συνέχεια όμως πείστηκε γι’ αυτήν. Ο αρχικός δισταγμός του οφειλόταν στο ότι σκέφτηκε πως, αν οι μελανές οπές είχαν εντροπία, θα είχαν και θερμοκρασία. Κι αφού θα είχαν θερμοκρασία, θα έπρεπε να ακτινοβολούν. Όμως, από τον ίδιο τον ορισμό τους, υποτίθεται ότι οι μελανές οπές δεν εκπέμπουν τίποτε. Τελικώς, ο ίδιος ο Hawking απέδειξε ότι η μελανή οπή όντως ακτινοβολεί και η ακτινοβολία αυτή έχει το φάσμα θερμού μέλανος σώματος. Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο η πρωτοποριακή δουλειά του Χριστοδούλου στη φυσική των μελανών οπών άνοιξε το δρόμο για την ανακάλυψη αυτών που ονομάζουμε «θερμοκρασία Bekenstein» και «ακτινοβολία Hawking». Ο Χριστοδούλου συνέχισε για αρκετά χρόνια να ασχολείται με θέματα της θεωρίας βαρύτητας και δημοσίευσε περισσότερες από είκοσι εργασίες υψηλού επιπέδου. Εδώ ολοκληρώνεται η πρώτη φάση της σταδιοδρομίας του Δημήτρη Χριστοδούλου.
Ο Χριστοδούλου ως μαθηματικός
Η δεύτερη φάση, η οποία διαρκεί ακόμη, σηματοδοτείται από μια σημαντική στροφή όσον αφορά την επιλογή των ερευνητικών του ενδιαφερόντων. Στρέφεται πια στα μαθηματικά και, πιο συγκεκριμένα, τον ενδιαφέρουν πολύ δύσκολα μαθηματικά προβλήματα που προκύπτουν από τη γενική σχετικότητα (αργότερα, θα προστεθούν κι εκείνα που αφορούν τη δυναμική των ρευστών). Έτσι, στην προαναφερθείσα έκθεση για το «Βραβείο Βασίλη Ξανθόπουλου για την Αστροφυσική και τη Γενική Σχετικότητα», ο Chandrasekhar κάνει λόγο για μια δεύτερη σταδιοδρομία του Δημήτρη Χριστοδούλου, κι όχι απλώς για δεύτερη φάση μιας ενιαίας σταδιοδρομίας.
Τα διανοητικά ερεθίσματα, που οδήγησαν στον αναπροσανατολισμό της
επιστημονικής του πορείας, του δόθηκαν κατά την πενταετή (1975-1980)
παραμονή του στο Μόναχο, ως μέλος της ερευνητικής ομάδας για τη γενική
σχετικότητα του Ινστιτούτου Max Planck. Επικεφαλής της ομάδας ήταν ο
Jürgen Ehlers(10), o οποίος, παρότι φυσικός, έτρεφε μεγάλη
εκτίμηση για τα μαθηματικά, οπότε έστρεψε την προσοχή της ομάδας στο
πρόβλημα της βαρυτικής ακτινοβολίας του διπλού αστέρα , δηλαδή στο
περίφημο «πρόβλημα των δύο σωμάτων», μέσω της μελέτης των εξισώσεων της
γενικής σχετικότητας του Αϊνστάιν. Η επίλυση του μαθηματικού
προβλήματος
της συγχώνευσης δύο άστρων παραμένει μακριά από τις δυνατότητές μας και
ανήκει στο μέλλον. Η συγχώνευση, όμως, δυο μελανών οπών, στην οποία
παράγονται και τα ισχυρότερα βαρυτικά κύματα, αποτελεί μια απλούστερη
περίπτωση. Πιο ορθά, αποτελεί το αντίστοιχο στη γενική θεωρία της
σχετικότητας του «προβλήματος των δύο σωμάτων» της νευτώνειας μηχανικής,
και μάλιστα στην πιο «καθαρή» του μορφή. Για να φθάσουμε, όμως, σε αυτό
το μαθηματικό αποτέλεσμα, πρέπει να επιλυθούν κάποια απλούστερα –
καθόλου, όμως, εύκολα – μαθηματικά προβλήματα. Ένα πρώτο βήμα σε αυτή
την πορεία έπρεπε να αποτελέσει η μελέτη του προβλήματος της ευστάθειας
του χώρου Minkowski, με το οποίο ήδη από τότε, υπό την επιρροή του
Ehlers, είχε αποφασίσει να ασχοληθεί ο Δημήτρης Χριστοδούλου. Έπρεπε να
αποκτήσουμε θεωρήματα ύπαρξης καθολικών λύσεων για τις εξισώσεις του
Αϊνστάιν, και τέτοια θεωρήματα δεν υπήρχαν εκείνη την εποχή. Αναφέρομαι
στην ύπαρξη καθολικών λύσεων των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με
μερικές παραγώγους, και ιδίως των υπερβολικών, που είναι πιο άγνωστες
από την περίπτωση των ελλειπτικών. Πιο συγκεκριμένα, έπρεπε πρώτα να
αποδειχθεί ότι αρχικά δεδομένα που είναι κοντά στη λύση Minkowski στο
επίπεδο του χωροχρόνου της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας οδηγούν σε
καθολικές λύσεις και, κατόπιν, έπρεπε να μελετηθεί η ασυμπτωτική
συμπεριφορά αυτών των λύσεων. Ο Δημήτρης Χριστοδούλου, λοιπόν, συνέλαβε
την ιδέα να ασχοληθεί με το πρόβλημα της ευστάθειας του χώρου Minkowski
το 1979, αλλά το μελέτησε σοβαρά κατά την περίοδο 1984-1991. Οι τεχνικές
που ανέπτυξε και τα αποτελέσματα που παρήγαγε μελετώντας το παραπάνω
πρόβλημα συγκροτούν μια πολύ σημαντική πρόοδο (breakthrough) στην
περιοχή της μαθηματικής μελέτης της γενικής σχετικότητας. Αυτό θα γίνει
πιο κατανοητό όταν αυτά τα αποτελέσματα παρουσιαστούν στο τέλος του
παρόντος κειμένου.
Ξαναγυρνώντας την αφήγηση στην «περίοδο του Μονάχου», αξίζει να τονιστεί πως ο Ehlers, προκειμένου να βοηθήσει τον Χριστοδούλου να αναπτύξει περαιτέρω τις μαθηματικές του δεξιότητες, τον έφερε σε επαφή με δύο σπουδαίους γάλλους μαθηματικούς, την Yvonne Choquet-Bruhat και τον Jean Leray. Ο Στυλιανός Νεγρεπόντης στην laudatio που εκφώνησε για την αναγόρευση, το 1996, του Χριστοδούλου σε επίτιμο διδάκτορα του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου Αθηνών, τόνισε επ’ αυτού του θέματος τα ακόλουθα:
O Ehlers προέτρεψε τον Χριστοδούλου να μελετήσει τη Μαθηματική Ανάλυση, ιδιαίτερα τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων.
[…] Έτσι, ο Χριστοδούλου, ακολουθώντας την υπόδειξη του Ehlers και ιδίως τις εσωτερικές του παρορμήσεις, ξεκίνησε ουσιαστικά από το μηδέν. Τον Δεκέμβριο του 1977, για πρώτη φορά μελετά την απόδειξη του θεωρήματος Picard για την ύπαρξη λύσεων των συνήθων διαφορικών εξισώσεων.
[…] Για να καλύψει το έδαφος που αισθανόταν ότι είχε χάσει, κινήθηκε, για άλλη μια φορά, με ταχύτητες που μπορούν να χαρακτηρισθούν ιλιγγιώδεις.
Έτσι, ο Χριστοδούλου κατά την περίοδο 1978-1981 ασχολήθηκε με τη θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Το 1981, δημοσίευσε την πρώτη σημαντική μαθηματική του εργασία, με τίτλο “Global Solutions of Yang-Mills field equations”, η οποία αποτέλεσε το πρώτο βήμα στην προετοιμασία του για να καταπιαστεί με το πρόβλημα της ευστάθειας του χώρου Minkowski. Ακολούθησε μια δεύτερη, το ίδιο έτος, την οποία εκπόνησε από κοινού με την Choquet-Bruhat, με τίτλο, “Existence of global solutions of the YangMills, Higgs and spinor field equations in 3+1 dimensions”.
Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1993,
τελευταία έκδοση: 2016, 526 σελ.
Τα πρώτα θεωρήματα που απέδειξε ο Χριστοδούλου στην γενική σχετικότητα ήταν τα «θεωρήματα ώθησης» (boost theorems), τα οποία διατυπώνουν την ύπαρξη μιας ευρείας κλάσεως λύσεων των εξισώσεων Αϊνστάιν σε μια περιοχή που προκύπτει «ωθώντας» την αρχική επιφάνεια Cauchy. O S. Chandrasekhar, αναφερόμενος στα «θεωρήματα ώθησης» που απέδειξε ο Χριστοδούλου, έγραψε, ως Πρόεδρος της Επιτροπής του «Βραβείου Βασίλη Ξανθόπουλου για την Αστροφυσική και τη Γενική Σχετικότητα», η οποία – όπως προαναφέρθηκε – πρότεινε την απονομή αυτού του βραβείου στον Χριστοδούλου, το 1991, τα ακόλουθα:
Όταν απέδειξε τα θεωρήματα ώθησης ο Δημήτρης δεν ήταν ακόμη πολύ γνωστός για τις ικανότητές του σε αυστηρή μαθηματική δουλειά. Έτσι, όταν εμφανίστηκαν αυτά τα αποτελέσματα, στις αρχές της δεκαετίας του 1980, εξέχοντες μαθηματικοί ρελατιβίστες έμειναν κατάπληκτοι. Πράγματι, αποτέλεσε μια μεγάλη έκπληξη το ότι κάποιος είχε αποτολμήσει έστω και να καταπιαστεί αυστηρά με αυτό το πρόβλημα. Πολλοί μαθηματικοί, στη Γαλλία και σε τούτη τη χώρα (σημ.: εννοεί τις ΗΠΑ), είχαν προσπαθήσει σκληρά να αναλύσουν αυτό το θέμα. Ο Δημήτρης πέτυχε γιατί μπόρεσε να συνδυάσει τη γεωμετρική διαίσθηση που είχε αποκτήσει από τη γενική σχετικότητα με βαθιά αποτελέσματα της ανάλυσης. Από τότε έγινε πια σύνηθες για την επιστημονική κοινότητα να βλέπει τον Χριστοδούλου να καταπιάνεται και να λύνει απίστευτα δύσκολα προβλήματα μαθηματικής φυσικής. Είναι αυτός που έχει τη βαθύτερη διαίσθηση της δομής μιας υπερβολικής γεωμετρίας καθώς και των ελλειπτικών ή υπερβολικών μη γραμμικών εξισώσεων. Είναι δύσκολο να σκεφθώ οποιονδήποτε που να μπορεί να συγκριθεί μαζί του, από αυτή την άποψη. Τα αυστηρά αποτελέσματα που απέδειξε φαίνονται πολύ «εσωτερικά», σε πρώτη ματιά. Εντούτοις, πολλά από αυτά είναι πιθανόν ότι θα βρουν άμεσες εφαρμογές στην αριθμητική μελέτη της γενικής σχετικότητας.
Μια δεύτερη κατηγορία προβλημάτων με τα οποία ασχολήθηκε ο
Χριστοδούλου είναι τα αφορώντα την πλήρη μαθηματική περιγραφή της
σφαιρικής κατάρρευσης ενός
βαθμωτού πεδίου, συμπεριλαμβανομένης της
δομής των οριζόντων και των ανωμαλιών. Η πρώτη εργασία που αφορούσε το
βαθμωτό πεδίο δημοσιεύθηκε το 1986, με τίτλο, “A mathematical theory of
gravitational collapse”. Ιδού τι είπε ο Στυλιανός Νεγρεπόντης για την εν
λόγω εργασία στην προαναφερθείσα πανηγυρική του ομιλία:
Πρόκειται για μια εργασία θεμελιώδους πρωτοτυπίας και εξαιρετικής τεχνικής δυσκολίας, στην οποία ο Χριστοδούλου αποδεικνύεται μεγάλος τεχνίτης της κλασικής πραγματικής ανάλυσης και του χειρισμού λεπτών αλλά, κατά βάση στοιχειωδών, αναλυτικών ανισοτήτων. Δεν υπάρχει εδώ χρήση διαφορικής γεωμετρίας. Ο Χριστοδούλου χρησιμοποιεί την έννοια της τελικής μάζας Bondi, η οποία, από φυσικής πλευράς είναι η τελική μάζα μετά την εκπομπή ακτινοβολίας, από μαθηματικής δε πλευράς εκφράζεται ως ένα διπλό όριο, καθώς ο χώρος και ο χρόνος τείνουν στο άπειρο. Το δε «υπαρξιακό αποτέλεσμα» που αποδεικνύει ο Χριστοδούλου διατυπώνεται ως εξής: «Αν η τελική μάζα Bondi είναι θετική, τότε δημιουργείται στον χωροχρόνο μια μελανή οπή ίσης μάζας, περιβαλλόμενη από κενό».
Και ο Νεγρεπόντης συμπληρώνει:
Αυτό το θεώρημα ύπαρξης είναι μία από τις ωραιότερες και σημαντικότερες εργασίες του Χριστοδούλου και από μόνη της αρκετή για να χαρακτηρίσει τον Χριστοδούλου ως έναν μεγάλο αναλύστα.
Δύο ιδιαιτέρως σημαντικές εργασίες του Χριστοδούλου που ανήκουν στην ίδια θεματική κατηγορία – ανάμεσα σε πολλές άλλες, καθ’ όλα σημαντικές– είναι οι ακόλουθες: 1) “The formation of black holes and singularities in spherically symmetric gravitational collapse”, του έτους 1991, και 2) “Bounded variation solutions of the spherically-symmetric Einstein-scalar field equations”, του έτους 1993.
Πολύ μεγάλο ενδιαφέρον και απόλυτη πρωτοτυπία παρουσιάζουν, επίσης, οι ακόλουθες δύο εργασίες του Χριστοδούλου στο κορυφαίο μαθηματικό περιοδικό, Annals of Mathematics, που αφορούν τις καλούμενες γυμνές ανωμαλίες (naked singularities): 1) “Examples of naked singularity formation in the gravitational collapse of a scalar field”, του έτους 1994, και 2) “The instability of naked singularities in the gravitational collapse of a scalar field”, του 1999. Οι γυμνές ανωμαλίες είναι ανωμαλίες οι οποίες προέρχονται από ομαλά και ασυμπτωτικώς επίπεδα αρχικά δεδομένα και δεν έπονται κάποιας παγιδευμένης περιοχής αλλά έχουν μελλοντικούς κώνους φωτός ορατούς από έναν παρατηρητή στο άπειρο. Υπενθυμίζω ότι όλα αυτά ισχύουν στο μοντέλο του βαθμωτού πεδίου με σφαιρική συμμετρία. Χωρίς την τελευταία προϋπόθεση, τον τελευταίο περιορισμό, το πρόβλημα καθίσταται ασύλληπτα δύσκολο και δεν μπορεί σήμερα ούτε καν να φανταστεί κανείς μια πιθανή μορφή λύσης του. Σημειωτέον ότι οι δύο παραπάνω μελέτες του Χριστοδούλου συνιστούν αντιπαράδειγμα στην εικασία της «κοσμικής λογοκρισίας Penrose-Hawking». Στην πρώτη από τις δύο εργασίες αποδεικνύεται η ύπαρξη παραδειγμάτων γυμνών ανωμαλιών, ενώ, σύμφωνα με το αποτέλεσμα της δεύτερης, αφαιρουμένου ενός «μικρού» συνόλου συνθηκών, υπό κάποια έννοια συνδιάστασης 2, στο υπόλοιπο generic σύνολο συνθηκών ισχύει μια αρχή διχοτομίας.
Ιδιαίτερης αξίας είναι, επίσης, οι ακόλουθες μαθηματικές του εργασίες για τις wave-maps, δηλαδή τις αρμονικές απεικονίσεις με πεδίο ορισμού τον χώρο Minkowski και πεδίο τιμών έναν χώρο Riemann: 1) “On the regularity of spherically symmetric wave maps” (από κοινού με τον A.S. Tahvildar-Zadeh), του έτους 1993, και 2) “On the asymptotic behavior of spherically symmetric wave maps”, επίσης του έτους 1993. Πρόκειται για μια τρίτη κατηγορία μαθηματικών προβλημάτων που απασχόλησε τον Δημήτρη Χριστοδούλου, το περιεχόμενο των οποίων παρέλκει, όμως, να αναλύσω περαιτέρω στο παρόν κείμενο.
Η ευστάθεια του χώρου Minkowski
Στο τελευταίο μέρος του κειμένου, που ακολουθεί, θα παρουσιάσω το πώς ο Δημήτρης Χριστοδούλου και ο Sergiu Klainerman προσέγγισαν και επέλυσαν το πρόβλημα της ευστάθειας του χώρου Minkowski, καθώς και την εντυπωσιακή συνέπεια του αποτελέσματός τους για τη μη γραμμική φύση των βαρυτικών κυμάτων.
Η Choquet-Bruhat είχε αποδείξει, ήδη από το 1952, την ύπαρξη τοπικών
λύσεων για τις εξισώσεις Αϊνστάιν με ασθενή αρχικά δεδομένα. Η επέκταση
της τοπικής λύσης σε καθολική δεν ήταν δυνατή διότι προσέκρουε στο
περίφημο «θεώρημα των ανωμαλιών» του Penrose, του έτους 1965, σύμφωνα με
το οποίο η γεωδαισιακή πληρότητα δεν είναι δυνατόν να ισχύει αν η
αρχική τριδιάστατη πολλαπλότητα είναι μη συμπαγής και περιέχει μια
παγιδευμένη σφαίρα.
Ο Δημήτρης Χριστοδούλου αντελήφθη ότι για την
επιτυχία των μελετών του απαιτείτο βαθιά γνώση και της διαφορικής
γεωμετρίας. Το κατάφερε κι αυτό, έχοντας ατύπως ως «δάσκαλο», τον
σπουδαίο γεωμέτρη Sing-Tung Yau, κάτοχο του Fields Medal στα μαθηματικά
για τις μελέτες του που αφορούν τις διαφορικές εξισώσεις, την εικασία
Calabi στην αλγεβρική τοπολογία, την εικασία της θετικής μάζας στη
γενική θεωρία της σχετικότητας, κ.λπ. Από τότε και στο εξής, η
μαθηματική έρευνα του Χριστοδούλου εστιάστηκε στη θεωρία των μερικών
διαφορικών εξισώσεων, της γεωμετρικής ανάλυσης, των εξισώσεων του
Αϊνστάιν στο πλαίσιο της γενικής θεωρίας της σχετικότητας, καθώς και της
δυναμικής των ρευστών.
To 1993, λοιπόν, εκδίδεται, ως 41ος τόμος της κλασικής σειράς των μεγάλων μαθηματικών έργων, Princeton Mathematical Series, το έργο των Δημήτρη Χριστοδούλου και Sergiu Klainerman, The Global Nonlinear Stability of the Minkowski Space(11). Σύμφωνα με τον Χριστοδούλου, με το έργο αυτό εισήχθησαν νέες βασικές μαθηματικές ιδέες:
Δύο είναι οι κύριες ιδέες: η πρώτη, η μητρότητα της οποίας ανήκει στην Noether, αφορά τη σχέση της συμμετρίας με τους νόμους διατήρησης. Στην περίπτωση της γενικής θεωρίας της σχετικότητας αυτή η ιδέα παίρνει νέα μορφή. Το πρόβλημα ήταν πώς θα εφαρμόσουμε εδώ αυτή την ιδέα, δεδομένου ότι σ’ έναν γενικό χωροχρόνο δεν υπάρχουν συμμετρίες. Εφόσον δεν υπάρχουν συμμετρίες, δεν μπορούμε να «κατασκευάσουμε» ποσότητες που διατηρούνται. Μπορούμε, όμως, να «κατασκευάσουμε» ποσότητες που η αύξησή τους βρίσκεται υπό έλεγχο.
Η δεύτερη ιδέα αφορά τον τρόπο «κατασκευής» όχι συμμετριών, αλλά – για να χρησιμοποιήσουμε μαθηματικούς όρους- μιας ομάδας που θα δρα με ασυμπτωτικές ισομετρίες. Σε μια τέτοια αρκετά μεγάλη ομάδα, οι ποσότητες που αντιστοιχούν σ’ αυτήν, ναι μεν δεν διατηρούνται, πλην όμως η αύξησή τους ελέγχεται από το ίδιο το σύνολο των ποσοτήτων αυτών(12).
Ο Jean-Pierre Bourguignon, τον Ιούνιο του 1991, δηλαδή με την
ολοκλήρωση της συγγραφής του έργου αλλά πριν από την έκδοσή του,
παρουσίασε τις ιδέες και τα συμπεράσματα των δύο συγγραφέων στο περίφημο
σεμινάριο Bourbaki, στο Παρίσι. Ο τιμημένος με το Fields Medal, Jean
Bourgain, στην ομιλία του, “Harmonic Analysis and Nonlinear Differential
Equations”, στο International Congress of Mathematicians του 1994, στη
Ζυρίχη, χαρακτήρισε τα μαθηματικά αποτελέσματα της κοινής εργασίας των
Χριστοδούλου και Klainerman ως “outstanding”.
Ο Στυλιανός
Νεγρεπόντης, στην προαναφερθείσα στο παρόν κείμενο laudatio του κατά την
αναγόρευση του Δ. Χριστοδούλου σε επίτιμο διδάκτορα του Μαθηματικού
Τμήματος του Πανεπιστημίου Αθηνών, το 1996, τόνισε:
Πρόκειται για έργο που αποτελεί έναν από τους μείζονες θριάμβους της μαθηματικής επιστήμης των τελευταίων ετών.
Στο βιβλίο, Μαθηματικά: ‘Θεωρητική ή πρακτική επιστήμη εντέλει(;)’(13),
έχω υποστηρίξει ότι είναι πολύ σύνηθες το φαινόμενο να μην υπάρχουν τα
μαθηματικά εργαλεία προκειμένου να αντιμετωπιστεί ένα δύσκολο μαθηματικό
πρόβλημα της Φυσικής. Κι όταν τελικώς επινοηθούν και αναπτυχθούν τα
μαθηματικά εργαλεία και επιλυθεί το μαθηματικό πρόβλημα, ενδέχεται να
αποδειχθεί ότι η μαθηματική λύση που βρέθηκε έχει απροσδόκητη σημασία
για την ερμηνεία ή τον πειραματικό-παρατηρησιακό έλεγχο κάποιου φυσικού
φαινομένου που ώς τότε δεν φαινόταν να συνδέεται με αυτή τη λύση. Τέτοιο
παράδειγμα είναι η απόδειξη της καθολικής μη γραμμικής ευστάθειας του
χώρου Minkowski από τους Δημήτρη Χριστοδούλου και Sergiu Klainerman.
Όπως
υποστήριξε ο Χριστοδούλου σε αδημοσίευτη ομιλία του στο Φυσικό Τμήμα
του Πανεπιστημίου Κρήτης, που έχει τίτλο «Φυσική και Μαθηματικά – Μια
προσωπική εμπειρία», πρόκειται για το πρώτο του έργο γεωμετρικής
ανάλυσης υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων. Είναι μια μονογραφία 514
σελίδων και αποτέλεσε σταθμό στη σταδιοδρομία και των δύο μαθηματικών.
Στο έργο αυτό, ο Χριστοδούλου και ο Klainerman απέδειξαν την ευστάθεια
του επίπεδου χωροχρόνου της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας στο πλαίσιο
της γενικής θεωρίας της σχετικότητας(14). Επίσης, έδωσαν μια λεπτομερή περιγραφή της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς των λύσεων.
Το εξαίρετο αυτό μαθηματικό επίτευγμα των Χριστοδούλου και Klainerman
είχε όμως ένα αναπάντεχο αποτέλεσμα, μια απροσδόκητη «εφαρμογή» στη
Φυσική. Συγκεκριμένα, γνωρίζουμε ότι μια αρχική διαταραχή στο υφάδι του
χωροχρόνου διαδίδεται -όπως η διαταραχή σε μια ήσυχη λίμνη που
προκαλείται από το ρίξιμο μιας πέτρας- με κύματα, τα βαρυτικά κύματα εν
προκειμένω.
Όμως, όπως έδειξε ο Χριστοδούλου σε μια μόλις
τετρασέλιδη εργασία, του 1991, με τίτλο “Nonlinear nature of gravitation
and gravitational-wave experiments”(15), υπάρχει μια λεπτή
διαφορά σε σχέση με το παράδειγμα της λίμνης. Γιατί, μολονότι ο
χωροχρόνος γίνεται ξανά, όπως η λίμνη, επίπεδος, μετά την παρέλευση των
κυμάτων, ο τελικός επίπεδος χωροχρόνος σχετίζεται, κατά μη τετριμμένο
τρόπο, με τον αρχικό επίπεδο χωροχρόνο, και τούτο οδηγεί σε ένα
παρατηρήσιμο φαινόμενο, τη μόνιμη – προσέξτε, τονίζω τη λέξη «μόνιμη»–
μετατόπιση των πειραματικών μαζών ενός ανιχνευτού βαρυτικών κυμάτων.
Το
φαινόμενο αυτό που ο Χριστοδούλου ονόμασε «φαινόμενο μνήμης», και
αναφέρεται στη διεθνή βιβλιογραφία ως “Christodoulou memory effect”,
είναι μη γραμμικό, εφόσον απουσιάζει στη γραμμικοποιημένη θεωρία.
Επιπλέον, ο Χριστοδούλου έδειξε ότι στην περίπτωση όπου τα βαρυτικά
κύματα προέρχονται από ένα πολλαπλό σύστημα ουρανίων σωμάτων, που
αποτελεί την περίπτωση με ενδιαφέρον από πλευράς φυσικής επιστήμης, αυτή
η καθαρά μη γραμμική μόνιμη μετατόπιση των πειραματικών μαζών είναι της
ίδιας τάξεως μεγέθους με τη μέγιστη στιγμιαία μετατόπιση, ασχέτως με το
πόσο σχετικιστικό είναι το ουράνιο σύστημα.
Στο «φαινόμενο μνήμης», ο Χριστοδούλου οδηγήθηκε ως εξής: Είχε
προηγουμένως ανακαλύψει ένα γεωμετρικό αναλλοίωτο που έχει να κάνει με
την ασυμπτωτική συμπεριφορά φυλλώσεων από χαρακτηριστικές
υπερεπιφάνειες.
Δεν γνώριζε, όμως, όπως αναφέρει ο ίδιος στην
προαναφερθείσα ομιλία του στην Κρήτη, τη φυσική σημασία αυτού του
γεωμετρικού αναλλοίωτου. Παραθέτω επακριβώς τα λόγια του:
Εκείνη την εποχή ήμουν καθηγητής στο Ινστιτούτο Κουράντ του Πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης αλλά έμενα σε μια περιοχή της πολιτείας Νιου Τζέρσεϋ, κοντά στα εργαστήρια Μπελλ. Επομένως, τις καθημερινές πηγαινοερχόμουν με το τρένο στη δουλειά μου. Ένα βράδυ, λοιπόν, επιστρέφοντας από τη Νέα Υόρκη, διάβαζα στο τρένο ένα ενημερωτικό περιοδικό του Εθνικού Ιδρύματος Ερευνών των Ηνωμένων Πολιτειών. Στο περιοδικό αυτό περιγράφονταν οι δυσκολίες που παρουσιάζει η ανίχνευση των κυμάτων βαρύτητας. Στην περιγραφή αναφερόταν ότι, σε κάθε περίοδο περιφοράς ενός διπλού αστέρος, αντιστοιχεί μια διπλή ταλάντωση των πειραματικών μαζών γύρω από τις αρχικές τους θέσεις. Επομένως, στο άρθρο υποστηριζόταν ότι, με τη συμπλήρωση κάθε ταλάντωσης, οι μάζες επανέρχονται στις αρχικές τους θέσεις. Τούτο μου φάνηκε ότι έρχεται σε αντίφαση με το γεωμετρικό αναλλοίωτο το οποίο ήδη γνώριζα. Επιστρέφοντας στο σπίτι εκείνο το βράδυ, έβαλα κάτω τις εξισώσεις κινήσεως πειραματικών μαζών σε έναν χωροχρόνο με τις ασυμπτωτικές ιδιότητες που γνώριζα και βρήκα ότι το γεωμετρικό αναλλοίωτο αντιστοιχεί σε μόνιμη μετατόπιση των πειραματικών μαζών. Από καθαρά μαθηματικής πλευράς, τώρα, αξίζει να τονιστεί με έμφαση ότι οι μαθηματικές μέθοδοι του έργου επί της ευστάθειας του χωροχρόνου Μινκόφσκι διαφέρουν ριζικά από εκείνες όλων των προηγούμενων εργασιών στον τομέα των υπερβολικών εξισώσεων.
Εν προκειμένω, όλες οι προηγούμενες εργασίες στις εξισώσεις Αϊνστάιν εξέταζαν τις εξισώσεις σε ένα σύστημα συντεταγμένων όπου ανάγονται σε ένα σύστημα μη γραμμικών κυματικών εξισώσεων, και προσπαθούσαν να εκτιμήσουν τις συνιστώσες της μετρικής σε αυτές τις συντεταγμένες. Στο εν λόγω έργο, αντιθέτως, η προσέγγιση είχε να κάνει με γεωμετρικές εκτιμήσεις της καμπυλότητος. Σε αυτές τις εκτιμήσεις, οι νόρμες ορίζονται από ένα σύνολο προσανατολισμένων προς το μέλλον χρονοειδών ανυσματικών πεδίων, τα «πεδία πολλαπλασιαστές», καθώς και από ένα άλλο σύνολο ανυσματικών πεδίων, τα «πεδία μεταθέτες», ως προς τα οποία λαμβάνονται παράγωγοι Lie. Τα δύο σύνολα ανυσματικών πεδίων κατασκευάζονται με βάση την αιτιακή δομή του χωροχρόνου, όπως αυτή εκδηλώνεται στη γεωμετρία μιας φυλλώσεως από χαρακτηριστικές υπερεπιφάνειες. Το εν λόγω έργο αποτελεί την πρώτη μελέτη τέτοιων φυλλώσεων εν σχέσει με τις εξισώσεις Αϊνστάιν.
Εδώ υπενθυμίζω ότι το γεωμετρικό αναλλοίωτο το οποίο εκδηλώνεται με «φαινόμενο μνήμης» έχει να κάνει με την ασυμπτωτική συμπεριφορά τέτοιων φυλλώσεων.
Σας περιέγραψα, αναπόφευκτα με κάπως τεχνικό τρόπο, το πώς από την
απόδειξη της μη γραμμικής ευστάθειας του χώρου Minkowski, ο Χριστοδούλου
οδηγήθηκε στη
διατύπωση του «φαινομένου μνήμης» που φέρει το όνομά
του και αφορά τη μη γραμμική φύση των βαρυτικών κυμάτων. Πρόκειται για
ένα καταπληκτικό παράδειγμα της κατά τον Eugene Wigner «παράλογης ή,
αλλιώς, μη κατανοητής (unreasonable) αποτελεσματικότητας των
Μαθηματικών» όσον αφορά την περιγραφή ενός φυσικού φαινομένου. Μάλιστα, ο
τιμηθείς με το Νόμπελ Φυσικής 2017, Kip Thorne, ανέλαβε να εξηγήσει
στους φυσικούς, με μελέτη που δημοσίευσε στο Physical Review D(16),
την προαναφερθείσα, μαθηματικά «πυκνή» και δύσκολη, εργασία που έγραψε ο
Χριστοδούλου, το 1991, για τη μη γραμμική φύση της βαρύτητας και τα
πειράματα βαρυτικών κυμάτων. To κορυφαίο επιστημονικό επίτευγμα της
πειραματικής ανίχνευσης βαρυτικών κυμάτων από το LIGO δημιουργεί την
ελπίδα ότι το “Christodoulou memory effect” (ή, αλλιώς, “nonlinear
memory effect”) μπορεί να ελεγχθεί πειραματικά νωρίτερα απ’ όσο αρχικώς
πιστεύαμε(17). Ας το ελπίσουμε και ας το ευχηθούμε!
1. H ακριβής φράση του
Peter Lax είναι: “Fortunately, after 2300 years, the Greeks have
returned to mathematics!”. Αναφέρεται στο βιογραφικό του Δημήτρη
Χριστοδούλου που βρίσκεται στην ακόλουθη ιστοσελίδα του Πανεπιστημίου
St. Andrews: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Christodoulou/
2.
Τα όσα αναπτύσσονται κυρίως στις ενότητες 2 και 3, αλλά εν μέρει και
στην ενότητα 4, του παρόντος κειμένου, στηρίζονται εν πολλοίς στο
αδημοσίευτο κείμενο της ομιλίας με την οποία προλόγισε ο γράφων τον
Δημήτρη Χριστοδούλου, κατά την ομιλία του με τίτλο, «Ο χώρος, ο χρόνος
και η βαρύτητα», στην Καλαμπάκα, στις 8 Σεπτεμβρίου 1996 (βλ. την
εφημερίδα, Τα Μετέωρα, 13 Σεπτεμβρίου 1996, σ. 4).
3. S. A. Kompaneyets, Theoretical Physics, Second Edition, Dover Publications, NY, 2013.
4. Για τον σπουδαίο αυτό έλληνα φυσικό, που είναι ελάχιστα γνωστός στο ευρύ κοινό, βλ. το βιβλίο του Γιώργου Ν. Βλαχάκη, ‘Αχιλλέας Παπαπέτρου – Ένας κοσμοπολίτης φυσικός στα βήματα του Αϊνστάιν‘, Εκδόσεις ΕΑΠ, Αθήνα, 2023.
5.
O Γιώργος Βλαχάκης παραθέτει τη σχετική ευχαριστήρια επιστολή που
απέστειλε στον Παπαπέτρου ο Δ. Χριστοδούλου, στις 8/2/1968, στο βιβλίο
του, Αχιλλέας Παπαπέτρου – Ένας κοσμοπολίτης φυσικός στα βήματα του
Αϊνστάιν, ό. π., σελ. 110. Επίσης, ο John Archibald Wheeler περιγράφει τον τρόπο γνωριμίας του με τον Δ. Χριστοδούλου
και την πρώιμη δουλειά του στο Πανεπιστήμιο Princeton, υπό την επίβλεψή
του, στην αυτοβιογραφία του: John Archibald Wheeler with Kenneth Ford,
Geons, Black Holes & Quantum Foam – A Life in Physics, W.W. Norton
& Company, NY & London, 1998, σ. 298-300.
6.
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, and John Archibald Wheeler,
Gravitation, W.H. Freeman and Company, San Francisco, 1973. Υπάρχει
ελεύθερα διαθέσιμο εδώ: https://physicsgg.me/wp-content/uploads/2023/05/misner_thorne_wheeler_gravitation_freema.pdf.
7. Η εν λόγω έκθεση υπάρχει στο προσωπικό μου αρχείο.
8. Kip
S. Thorne, Μαύρες τρύπες και στρεβλώσεις του χρόνου – Η προκλητική
κληρονομιά του Αϊνστάιν, τόμος 2, μετάφραση & επιστημονική
επιμέλεια: Χ. Αποστολάτος, Αλ. Μάμαλης, Θ. Πιεράττος, Α. Τσαγκογέωργα,
Κάτοπτρο, Αθήνα 1994, σ. 137-138.
8. Stephen
Hawking, Το χρονικό του χρόνου – Από τη Μεγάλη Έκρηξη ώς τις Μαύρες
Τρύπες, μετάφραση: Κωνσταντίνος Χάρακας, Κάτοπτρο, Αθήνα, 1998.
10.
Έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον ότι ο Δ. Χριστοδούλου, πλην του Jürgen
Ehlers, θεωρεί ότι οφείλει πολλά στον Paul Dirac, τον σπουδαίο αυτό
φυσικό –με τη μεγάλη συμβολή στη θεμελίωση της κβαντομηχανικής και στην
κβαντική ηλεκτροδυναμική– τον οποίο έτυχε να συναντήσει στην
επιστημονική του διαδρομή (βλ. τη συνέντευξή του στη LIFO: https://www.lifo.gr/prosopa/synenteyjeis/dimitris-hristodoyloy-o-spoydaioteros-en-zoi-ellinas-mathimatikos-milaei-sti ).
11.
Demetrios Christodoulou & Sergiu Klainerman, The Global Nonlinear
Stability of the Minkowski Space, Princeton University Press, Princeton,
New Jersey, 1993.
12. Βλ. τη συνέντευξη που παραχώρησε ο Δημήτρης Χριστοδούλου στον γράφοντα και δημοσιεύθηκε υπό τον τίτλο, «Η γοητεία της επιστημονικής βαρύτητας», στο Quantum – Περιοδικό για τις φυσικές επιστήμες και τα μαθηματικά, 2 (2), Μάρτιος/Απρίλιος 1995, σ. 33-34.
13. Γιώργος Λ. Ευαγγελόπουλος, Μαθηματικά: Θεωρητική ή πρακτική επιστήμη, εντέλει;, Ευρασία, Αθήνα, 2016, σ. 25-30.
14. Demetrios Christodoulou & Sergiu Klainerman, The Global Nonlinear Stability of the Minkowski Space, ό.π.
15. Demetrios Christodoulou, “Nonlinear nature of gravitation and gravitational-wave experiments”, Phys. Rev. Lett. 67(12): 1486-1489 (1991).
16. Kip Thorne, “Gravitational-wave bursts with memory: The Christodoulou effect”, Physical Review D 45(2): 520-524 (1992).
17. Tην
ελπίδα αυτή δημιουργεί η ακόλουθη εργασία που ανάρτησε η ομάδα του
LIGO: Paul D. Lasky, Eric Thrane,Yuri Levin, Jonathan Blackman, and
Yanbei Chen, “Detecting gravitational-wave memory with LIGO:
implications of GW150914”, βλ. εδώ: http://arxiv.org/pdf/1605.01415v1.pdf.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου
Σημείωση: Μόνο ένα μέλος αυτού του ιστολογίου μπορεί να αναρτήσει σχόλιο.