Τι είναι η πιθανότητα;

Όλες οι στατιστικές και μεγάλο μέρος της επιστήμης εξαρτώνται από την έννοια της πιθανότητας. Πρόκειται για ένα εκπληκτικό επίτευγμα, αν συνειδητοποιήσουμε ότι κανείς δεν είναι πραγματικά σίγουρος για το τι είναι πιθανότητα!

Η ζωή είναι αβέβαιη. Κανείς μας δεν ξέρει τι πρόκειται να συμβεί. Γνωρίζουμε ελάχιστα για το τι έχει συμβεί στο παρελθόν ή τι συμβαίνει τώρα πέρα από την άμεση εμπειρία μας. Η αβεβαιότητα ονομάστηκε «συνειδητή επίγνωση της άγνοιας» – είτε πρόκειται για τον αυριανό καιρό, είτε για το αποτέλεσμα του ποδοσφαιρικού αγώνα Ολυμπιακού-Παναθηναϊκού, ή για το αν θα γίνει τις επόμενες ημέρες μεγάλος σεισμός.

Στην καθημερινή ζωή, γενικά εκφράζουμε την αβεβαιότητα με λόγια, λέγοντας ότι ένα γεγονός «θα μπορούσε», «μπορεί» ή «είναι πιθανό» να συμβεί. Αλλά οι αβέβαιες λέξεις μπορεί να είναι ύπουλες. Όταν, το 1961, ο νεοεκλεγείς πρόεδρος των ΗΠΑ Τζον Φ. Κένεντι ενημερώθηκε για ένα σχέδιο εισβολής στην Κούβα υπό την αιγίδα της CIA και ζήτησε μια αξιολόγηση από την ανώτατη στρατιωτική του ομάδα. Κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η αποστολή είχε 30% πιθανότητες επιτυχίας – δηλαδή 70% πιθανότητα αποτυχίας. Στην έκθεση που έφτασε στον πρόεδρο, αυτό αναφερόταν ως «μια καλή ευκαιρία». Έτσι αποφασίστηκε η εισβολή στον Κόλπο των Χοίρων και κατέληξε σε φιάσκο. Σήμερα υπάρχουν καθιερωμένες κλίμακες για την αριθμητική εκτίμηση πιθανοτήτων αβέβαιων γεγονότων. Για παράδειγμα, οποιοσδήποτε στην κοινότητα πληροφοριών του Ηνωμένου Βασιλείου χρησιμοποιεί τον όρο «πιθανό», αυτό θα πρέπει να σημαίνει πιθανότητα μεταξύ 55% και 75% (βλέπε go.nature.com/3vhu5zc).

Ανοίξτε οποιοδήποτε επιστημονικό περιοδικό, για παράδειγμα και θα βρείτε άρθρα που είναι πασπαλισμένα με τιμές σημαντικότητας P, διαστήματα εμπιστοσύνης και πιθανώς εκ των υστέρων Μπεϋζιανές κατανομές, όπου όλα εξαρτώνται από την πιθανότητα.

Κι όμως, οποιαδήποτε αριθμητική πιθανότητα – είτε σε μια επιστημονική εργασία, ως μέρος των μετεωρολογικών προβλέψεων, ή στην πρόβλεψη της έκβασης ενός ποδοσφαιρικού αγώνα ή στον ποσοτικό προσδιορισμό ενός κινδύνου για την υγεία – δεν είναι μια αντικειμενική ιδιότητα του κόσμου, αλλά μια κατασκευή που βασίζεται σε προσωπικές ή συλλογικές κρίσεις και (συχνά αμφίβολες) υποθέσεις. Επιπλέον, στις περισσότερες περιπτώσεις, δεν υπολογίζει καν κάποια υποκείμενη «αληθινή» ποσότητα. Πράγματι, η πιθανότητα σπανιότατα μπορεί να ειπωθεί ότι «υπάρχει».

Η πιθανότητα εισήλθε σχετικά αργά στα μαθηματικά. Αν και οι άνθρωποι έπαιζαν «κόκκαλα» ή ζάρια για χιλιετίες, μόνο όταν οι Γάλλοι μαθηματικοί Blaise Pascal και Pierre de Fermat άρχισαν στη δεκαετία του 1650 την συστηματική ανάλυση των «τυχαίων» γεγονότων. Έκτοτε, η πιθανότητα έχει πλημμυρίσει τομείς τόσο διαφορετικούς όπως η οικονομία, η αστρονομία και η νομική – για να μην αναφέρουμε τον τζόγο.

Για να καταλάβετε την παρανόηση που κρύβεται πίσω από την έννοια της πιθανότητας, σκεφτείτε πώς χρησιμοποιείται η έννοια στις σύγχρονες μετεωρολογικές προβλέψεις. Οι μετεωρολόγοι κάνουν προβλέψεις για την θερμοκρασία, την ταχύτητα του ανέμου και την ποσότητα της βροχής, και πολύ συχνά για την πιθανότητα βροχής – ας πούμε 70% για δεδομένο χρόνο και τόπο. Οι τρείς πρώτες μπορούν να συγκριθούν με τις «αληθινές» τιμές τους. Μπορείτε να βγείτε έξω και να τις μετρήσετε. Αλλά δεν υπάρχει «αληθινή» πιθανότητα να συγκρίνει την τελευταία με την εκτίμηση της πρόγνωσης. Δεν υπάρχει «πιθανόμετρο». Ή βρέχει ή δεν βρέχει.

Επιπλέον, όπως υπογράμμισε ο φιλόσοφος Ian Hacking, η πιθανότητα έχει «το πρόσωπο του Ιανού»: χειρίζεται τόσο την τύχη όσο και την άγνοια. Φανταστείτε ότι ρίχνω ένα νόμισμα και σας ρωτάω ποιά είναι η πιθανότητα να έλθει «κορώνα». Λέτε άνετα «50%». Στη συνέχεια ρίχνω το νόμισμα και πιάνοντάς το με τα δυο μου χέρια στον αέρα. Αφού ρίξω μια γρήγορη κρυφή ματιά στο κέρμα, ξαναρωτάω: ποια είναι η πιθανότητά σας να είναι τώρα «κορώνα»;

Σημειώστε ότι λέω η πιθανότητά «σας», όχι «η» πιθανότητα. Οι περισσότεροι άνθρωποι τώρα διστάζουν να δώσουν μια απάντηση, πριν επαναλάβουν διστακτικά «50–50». Αλλά το γεγονός συνέβη τώρα, και δεν υπάρχει τυχαιότητα – μόνο η άγνοιά σας. Η κατάσταση έχει μετατραπεί από την «τυχαία» αβεβαιότητα, για το μέλλον που δεν μπορούμε να γνωρίζουμε, στην «γνωσιολογική» αβεβαιότητα, γι αυτό που προς το παρόν δεν γνωρίζουμε. Η αριθμητική πιθανότητα χρησιμοποιείται και για τις δύο αυτές καταστάσεις.

Ακόμα κι αν υπάρχει ένα στατιστικό μοντέλο για το τι πρέπει να συμβεί, αυτό βασίζεται πάντα σε υποκειμενικές υποθέσεις – στην περίπτωση ρίψης νομίσματος, ότι υπάρχουν δύο εξίσου πιθανά αποτελέσματα. Όλοι θεωρούμε ότι η ρίψη ενός νομίσματος έχει μοιρασμένες πιθανότητες «50-50» να έρθει κορώνα ή γράμματα, όταν (υποκειμενικά) εμπιστευόμαστε αυτόν που εκτελεί τη ρίψη ότι δεν χρησιμοποιεί ένα νόμισμα π.χ. με δυο κορώνες.

Όποιαδήποτε πρακτική χρήση της πιθανότητας περιλαμβάνει υποκειμενικές κρίσεις. Αυτό δεν σημαίνει ότι μπορώ να επιλέξω οποιουσδήποτε αριθμούς – θα αποδεικνυόμουν κακός εκτιμητής πιθανοτήτων αν ισχυριζόμουν με βεβαιότητα 99,9% ότι μπορώ να πετάξω από τη στέγη μου, για παράδειγμα. Ο αντικειμενικός κόσμος μπαίνει στο παιχνίδι όταν οι πιθανότητες και οι υποκείμενες υποθέσεις τους ελέγχονται έναντι της πραγματικότητας. Αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι οι ίδιες οι πιθανότητες είναι αντικειμενικές.

Ορισμένες υποθέσεις που χρησιμοποιούν οι άνθρωποι για να εκτιμήσουν τις πιθανότητες θα έχουν ισχυρότερη αιτιολόγηση από άλλες. Αν έχω εξετάσει προσεκτικά ένα νόμισμα προτού το ρίξω, και προσγειωθεί σε μια σκληρή επιφάνεια και αναπηδά χαοτικά, θα αισθανθώ πιο δικαιωμένος με την κρίση μου 50-50, παρά αν κάποιος άγνωστος μυστηριώδης τύπος ρίξει ένα δικό του νόμισμα περιορίζοντάς το σε μερικές τυχαίες στροφές. Αλλά αυτοί οι ίδιοι περιορισμοί ισχύουν οπουδήποτε χρησιμοποιούνται πιθανότητες – ακόμη και σε επιστημονικά πλαίσια, στα οποία θα μπορούσαμε να είμαστε λιγότερο υποψιασμένοι για την υποτιθέμενη αντικειμενικότητά τους.

Είναι όμως αυτοί οι αριθμοί, οι υποκειμενικές μας, και ίσως εσφαλμένες εκτιμήσεις μας για κάποια υποκείμενη «αληθινή» πιθανότητα, ένα αντικειμενικό χαρακτηριστικό του κόσμου; Πώς ορίζεται στην πραγματικότητα μια αντικειμενική πιθανότητα;

Έχουν γίνει πολλές προσπάθειες για να δοθεί μια απάντηση στο ερώτημα αυτό, αλλά όλες φαίνονται είτε ελαττωματικές είτε περιορισμένες. Αυτές περιλαμβάνουν την πιθανότητα συχνότητας, μια προσέγγιση που ορίζει τη θεωρητική αναλογία γεγονότων που θα μπορούσαν να εμφανιστούν σε άπειρες επαναλήψεις ουσιαστικά πανομοιότυπων καταστάσεων – για παράδειγμα, επανάληψη της ίδιας κλινικής δοκιμής στον ίδιο πληθυσμό με τις ίδιες καταστάσεις ξανά και ξανά, όπως στην ταινία Ημέρα της Μαρμότας. Αυτό φαίνεται μάλλον μη ρεαλιστικό. Ο Βρετανός στατιστικός Ronald Fisher πρότεινε να σκεφτούμε ένα μοναδικό σύνολο δεδομένων ως δείγμα από έναν υποθετικό άπειρο πληθυσμό, αλλά αυτό φαίνεται να είναι περισσότερο ένα πείραμα σκέψης παρά μια αντικειμενική πραγματικότητα. Ή υπάρχει η ημι-μυστικιστική ιδέα της τάσης, ότι υπάρχει κάποια αληθινή υποκείμενη τάση να συμβεί ένα συγκεκριμένο γεγονός σε ένα συγκεκριμένο πλαίσιο, όπως για παράδειγμα να πάθω καρδιακή προσβολή τα επόμενα δέκα χρόνια ή να εκραγεί ένα συγκεκριμένο ηφαίστειο στους επόμενους μήνες. Οι πιθανότητες που αποδίδονται σε τέτοια γεγονότα φαίνονται πρακτικά μη επαληθεύσιμες.

Υπάρχει ένα περιορισμένο εύρος καλά ελεγχόμενων, επαναλαμβανόμενων καταστάσεων με τεράστια πολυπλοκότητα που, ακόμη κι αν είναι ουσιαστικά ντετερμινιστικές, ταιριάζουν με το παράδειγμα συχνότητας, έχοντας μια κατανομή πιθανότητας με προβλέψιμες ιδιότητες μακροπρόθεσμα. Αυτές περιλαμβάνουν τυπικές διατάξεις τυχαιοποίησης, όπως τροχούς ρουλέτας, ανακατεμένες κάρτες, ρίξιμο νομισμάτων, ζαριών και σφαιρίδια λοταρίας, καθώς και γεννήτριες ψευδοτυχαίων αριθμών, που βασίζονται σε μη γραμμικούς, χαοτικούς αλγόριθμους για να δώσουν αποτελέσματα που περνούν τα τεστ τυχαιότητας.

Στον φυσικό κόσμο, π.χ. μπορούμε να θεωρήσουμε την συμπεριφορά πολύ μεγάλου αριθμού μορίων αερίων τα οποία, ακόμα κι αν ακολουθούν τη νευτώνεια φυσική, υπακούουν στους νόμους της στατιστικής μηχανικής. ή στη γενετική, όπου η τεράστια πολυπλοκότητα της επιλογής και του ανασυνδυασμού των χρωμοσωμάτων οδηγεί σε σταθερά ποσοστά κληρονομικότητας. Μπορεί να είναι λογικό σε αυτές τις περιορισμένες περιστάσεις να υποθέσουμε μια ψευδο-αντικειμενική πιθανότητα – αντί για «μια» (υποκειμενική) πιθανότητα.

Ωστόσο, σε κάθε άλλη κατάσταση στην οποία χρησιμοποιούνται πιθανότητες – από μεγάλα τμήματα της επιστήμης μέχρι τον αθλητισμό, την οικονομία, τον καιρό, το κλίμα, την σεισμολογία, την ανάλυση κινδύνου, τα μοντέλα καταστροφών κ.λπ. – δεν έχει νόημα να θεωρούμε ότι οι κρίσεις μας είναι εκτιμήσεις για αληθινές πιθανότητες. Αυτές είναι απλώς καταστάσεις στις οποίες μπορούμε να προσπαθήσουμε να εκφράσουμε την προσωπική ή συλλογική μας αβεβαιότητα ως προς τις πιθανότητες, με βάση τις γνώσεις και την κρίση μας.

Όλα αυτά απλώς εγείρουν περισσότερα ερωτήματα. Πώς ορίζουμε την υποκειμενική πιθανότητα; Και γιατί οι νόμοι των πιθανοτήτων είναι λογικοί, αν βασίζονται σε πράγματα που ουσιαστικά επινοούμε; Αυτό έχει συζητηθεί στην ακαδημαϊκή βιβλιογραφία σχεδόν επί έναν αιώνα, αλλά χωρίς καθολικά αποδεκτό αποτέλεσμα.

O μαθηματικός Bruno de Finetti ξεκινά το βιβλίο του «Θεωρία των Πιθανοτήτων» με την προκλητική δήλωση: οι πιθανότητες δεν υπάρχουν! Παρ’ όλα αυτά υποστήριξε ότι ξεκινώντας από μια συγκεκριμένη, αλλά καθαρά υποκειμενική, έκφραση πεποιθήσεων, θα πρέπει να ενεργούμε σαν τα γεγονότα να οδηγούνται από αντικειμενικές πιθανότητες.

Είναι εκπληκτικό το γεγονός ότι ένα τόσο σημαντικό σύνολο έργου, στο οποίο βασίζεται όλη η στατιστική επιστήμη, όπως και πλήθος επιστημονικών και οικονομικών δραστηριοτήτων, έχει προκύψει από μια τόσο ασαφή ιδέα. Ίσως στον καθημερινό μας κόσμο, οι πιθανότητες πιθανότατα δεν υπάρχουν – αλλά είναι συχνά χρήσιμο να ενεργούμε σαν να υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες στο άρθρο του David Spiegelhalter με τίτλο «Probability Probably Doesn’t Exist» – http://www.scientificamerican.com/article/why-probability-probably-doesnt-exist-but-its-useful-to-act-like-it-does/

ΠΗΓΗ